高中數(shù)學平面向量及其應用-文庫吧資料
2024-08-30 18:01本頁面
【正文】 os2x＋ 2sinx＝－ 2?? ??sinx－ 12 2＋ 32， ∵ x∈ R, ∴ sinx∈ [－ 1,1]， 當 sinx＝ 12時， f(x)取最大值 32；當 sinx＝－ 1 時， f(x)取最小值－ f(x)的值域為 ?? ??－ 3， 32 . 例 2 (1)解： b－ 2c＝ (sinβ－ 2cosβ， 4cosβ＋ 8sinβ)， a 與 b－ 2c 垂直， ∴ 4cosα(sinβ－ 2cosβ)＋ sinα(4cosβ＋ 8sinβ)＝ 0， sin(α＋ β)＝ 2cos(α＋ β)，即 tan(α＋ β)＝2. (2) 解： b＋ c＝ (sinβ＋ cosβ， 4cosβ－ 4sinβ)， |b＋ c|＝ ?sinβ＋ cosβ?2＋ 16?cosβ－ sinβ?2＝ 17－ 15sin2β≤ 17＋ 15＝ 4 2， |b＋ c|的最大值為 4 2. (3) 證明：由 tanαtanβ＝ 16 得 sinαsinβ＝ 16cosαcosβ， 即 4cosα4cosβ－ sinαsinβ＝ 0，所以 a∥ b. 變式訓練 已知向量 a＝ (sinθ， cosθ－ 2sinθ)， b＝ (1,2)． (1) 若 a∥ b，求 tanθ的值； (2) 若 |a|＝ |b|,0＜ θ＜ π，求 θ的值． 解： (1) 因為 a∥ b，所以 2sinθ＝ cosθ－ 2sinθ， 于是 4sinθ＝ cosθ，故 tanθ＝ 14. (2) 由 |a|＝ |b|知， sin2θ＋ (cosθ－ 2sinθ)2＝ 5， 所以 1－ 2sin2θ＋ 4sin2θ＝ 5. 從而－ 2sin2θ＋ 2(1－ cos2θ)＝ 4，即 sin2θ＋ cos2θ＝－ 1， 于是 sin?? ??2θ＋ π4 ＝－ 22 . 又由 0＜ θ＜ π知， π4＜ 2θ＋ π4＜ 9π4 ， 所以 2θ＋ π4＝ 5π4 或 2θ＋ π4＝ 7π4 . 因此 θ＝ π2或 3π4 . 例 3 解：設 BC＝ a， AC＝ b， AB＝ c， 由 2AB→ 1sinx＝ 2 2，當 2sinx＝ 1sinx，即 sinx＝ 22 ， x＝ π4時取等號，故函數(shù) f(x)的最小值等于 2 2. 變式訓練 已知向量 m＝ (sinA， cosA)， n＝ (1，－ 2)，且 m2 ，因為 x∈ ?? ??0， π2 ， sinx≠ 0，所以得 cos2x＝－ 2，這與 |cos2x|≤ 1 相矛盾，故 a 與 b 不能平行． (2) 由于 f(x)＝ ab＝ 1＋ 4－ 2 1 2 cosπ3＝ 3. 4. [0,2] 解析：設 a 與 b 的夾角為 θ，則 |P|＝ 1＋ 1＋ 2cosθ＝ 2＋ 2cosθ(θ∈ [0， π])． 例題選講 例 1 解： (1) 若 a 與 b 平行，則有 1sinxOC→ ＞ OB→ OC→ 解析： 0＜ ∠ AOB＜ ∠ AOC＜ ∠ BOC＜ π， y＝cosx在 (0， π)上單調減， ∴ cos∠ AOB＞ cos∠ AOC＞ cos∠ BOC, ∴ OA→ OB→ ＞ OA→ OC→ ， OB→ b2＋ c2－ a22bc ， (12 分 ) ∴ － b2＝ b2＋ c2－ a2， 即 ： a2－ c2＝ 2b2， 又 a2－ c2＝ 8b， ∴ 2b2＝ 8b
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