【正文】 (4,1)。 。 ]。 A =[ 。 。 。 ]。 。 [x,resnorm,residual,exitflag] = lsqlin(? ) %exitflag為終止迭代的條件 [x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqlin(? ) % output表示輸出優(yōu)化信息 [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(? ) % lambda 為解 x 的Lagrange乘子 例 515 求解下面系統(tǒng)的最小二乘解 系統(tǒng)： Cx=d 約束： bxA ?? ； buxbl ?? 先輸入系統(tǒng)系數(shù)和 x的上下界： C = [ 。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options為指定優(yōu)化參數(shù) [x,resnorm] = lsqlin(? ) % resnorm=norm(C*xd)^2，即 2范數(shù)。 x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %lb、 ub滿足 buxbl ?? ，若沒有等式約束，則 Aeq=[ ]， beq=[ ]。 函數(shù) lsqlin 格式 x = lsqlin(C,d,A,b) %求在約束條件 bxA ?? 下，方程 Cx = d的最小二乘解 x。 %所使用規(guī)則 lambda = ineqlin: [3x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [3x1 double] lower: [3x1 double] ans = ans = 表明：不等約束條件 2和 3以及第 1個下界是有效的 非線性規(guī)劃問題 18 最小二乘最優(yōu)問題 約束線性最小二乘 有約束線性最小二乘的標準形式為 22x dxC21min ? bxA ?? beqxAeq ?? buxbl ?? 其中： C、 A、 Aeq為矩陣； d、 b、 beq、 lb、 ub、 x是向量。 [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb) 結(jié)果為： x = %最優(yōu)解 fval = %最優(yōu)值 exitflag = %收斂 1 output = iterations: 6 %迭代次數(shù) cgiterations: 0 algorithm: 39。 30]。 b = [20。3 2 4。 6]。 例 51 求下面的優(yōu)化問題 min 321 x6x4x5 ??? 20xxx 321 ??? 42x4x2x3 321 ??? 30x2x3 21 ?? 321 x0,x0,x0 ??? 解： f = [5。 [x, lambda,fval,exitflag] = linprog(? ) % exitflag為終止迭代的錯誤條件。 *x。 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式約束 beqxAeq ?? ，若沒有不等式約束bxA ?? ，則 A=[ ]， b=[ ]。 函數(shù) linprog 格式 x = linprog(f,A,b) %求 min f 39。 在 版中，線性規(guī)劃問題（ Linear Programming）已用函數(shù) linprog 取代了 lp函數(shù)。 第 5章 優(yōu)化問題 線性規(guī)劃問題 線性規(guī)劃問題是目標函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)的問題， 解決的線性規(guī)劃問 題的標準形式為： min nRxxf ?? ： bxA ?? beqxAeq ?? ubxlb ?? 其中 f、 x、 b、 beq、 lb、 ub為向量， A、 Aeq為矩陣。x39。若 A為字符串，則 S 為符號數(shù)值或變量；若 A為一數(shù)值標量或矩陣，則 S 為代表所給數(shù)值的符號表達式。 ezplot3(t*sin(t), t*cos(t), t,[0,20*pi]) 圖形結(jié)果為圖 310。) %以動畫形式畫出空間三維曲線。 ezplot3(? ,39。 ezmesh(f,[pi,pi]) 圖形結(jié)果為：（圖 36） 第 1章 矩陣及其基本運算 15 命令 6 三維參量曲線圖 函數(shù) ezplot3 格式 ezplot3(x,y,z) %在缺省的范圍 0t2π內(nèi)畫空間參數(shù)形式的曲線 x=x(t)、 y=y(t)與 z=z(t)的圖形。 1/3*exp((x+1)^2 y^2)39。 10*(x/5 x^3 y^5)*exp(x^2y^2)39。3*(1x)^2*exp((x^2) (y+1)^2)39。) %在 一圓形區(qū)域（圓心位于定義域在中心）的范圍內(nèi)畫出函數(shù)f的網(wǎng)格圖形。 ezmesh(? ,39。 ezmesh(f,? ,n) %用指定 n*n 個柵格點，在缺?。ㄈ魶]有指定）的區(qū)域內(nèi)畫出函數(shù) f網(wǎng)的圖形。 ezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax]) %在指定的矩形定義域范圍 [sminssmax，minttmax]內(nèi)畫參數(shù)形式函數(shù) x=x(s,t)、 y=y(s,t)、 z=z(s,t)的二元函數(shù) z=f(x,y)的網(wǎng)格圖。 ezmesh(f,domain) %在指定的定義域 domain 內(nèi)畫出二元函數(shù) f(x,y)的網(wǎng)格圖，定義域 domain 可以是四維向量 [xmin,xmax,ymin,ymax]或二維向量[min,max]（其中顯示區(qū)域為： minxmax， minymax）。系統(tǒng)將根據(jù)函數(shù)變動的激烈程度自動選擇相應(yīng)的計算柵格。) 計算結(jié)果為： D1 = [ sin(t)] [ sin(t)] D2 = C1*exp(a*t) D3 = exp(a*s) 14 符號函數(shù)的作圖 命令 3 符號函數(shù)的三維網(wǎng)格圖 函數(shù) ezmesh 格式 ezmesh(f) %畫出二元數(shù)學(xué)符號函數(shù) f=f(x,y)的網(wǎng)格圖。,39。,39。) D3 = dsolve(39。) % 帶一個定解條件 D2 = dsolve(39。,39。 例 328 D1 = dsolve(39。若該命令找不到解析解，則返回一警告信息，同時返回一空的 sym對象。初始和邊界條件由字符串表示： y(a)=b， Dy(c)=d， D2y(e)=f，等等，分別表示 b)x(y ax ?? ，d)x(y cx ?? ? ， f)x(y ex ??? ? ；若邊界條件少于方程（組）的階數(shù)，則返回的結(jié)果 r中會出現(xiàn)任意常數(shù) C1， C2， … ； dsolve命令最多可以接受 12個輸入?yún)⒘浚òǚ匠探M與定解條 件個數(shù)，當(dāng)然我們可以做到輸入的方程個數(shù)多于 12個，只要將多個方程置于一字符串內(nèi)即可）。) 說明 對給定的常微分方程（組） eq1,eq2,… 中指定的符號自變量 v，與給定的邊界條件和初始條件 cond1,cond2,? .求符號解（即解析解） r；若沒有指定變量 v，則缺省變量為 t；在微分方程（組）的表達式 eq中， 大寫字母 D表示對自變量 (設(shè)為 x)的微分算子： D=d/dx，D2=d2/dx2， … 。,39。,39。 例 327 syms x z t alpha INT1 = int(2*x/(1+x^3)^2) 第 1章 矩陣及其基本運算 13 INT2 = int(x/(1+z^2),z) INT3 = int(INT2,x) INT4 = int(x*log(1+x),0,1) INT5 = int(2*x, sin(t), 1) INT6 = int([exp(t),exp(alpha*t)]) 計算結(jié)果為： INT1 = 2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)1/9*log(x^2x+1)2/9*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x1)*… 3^(1/2))2/9*(2*x1)/(x^2x+1) INT2 = x*atan(z) INT3 = 1/2*x^2*atan(z) INT4 = 1/4 INT5 = 1sin(t)^2 INT6 = [ exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)] 命令 4 常微分方程的符號解 函數(shù) dsolve 格式 r = dsolve(39。 R = int(S) %對符號表達式 S中的符號變量 v計算不定積分，其中 v=findsym(S)。) 計算結(jié)果為： ans = [ 1/2/a*(b+(b^24*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(b(b^24*a*c)^(1/2))] ans = (a*x^2+c)/x ans = x: [1x1 sym] y: [1x1 sym] A = a: [4x1 sym] u: [4x1 sym] v: [4x1 sym] 微積分 命令 3 符號函數(shù)的積分 函數(shù) int 格式 R = int(S,v) %對符號表達式 S中指定的符號變量 v計算不定積分。, 39。, 39。) A = solve(39。,39。) solve(39。,39。) solve(39。 例 315 solve(39。 g = solve(eq1,eq2,? ,eqn,var1,var2,? ,varn) %對方程組 eq1,eq2,…,eqn 中指定的n個變量如 var1,var2,? ,varn求解。該命令對方程組 eq1,eq2,…,eqn 中由命令 findsym 確定的 n 個變量如x1,x2,…,xn 求解。 g = solve(eq,var) %對符號表達式或沒有等號的字符串 eq中指定的變量 var求解方程 eq(var)=0。若 eq是一符號表達式 x^2 2*x1或一沒有等號的字符串 ’x^22*x1’，則 solve(eq)對方程 eq中的 12 缺省變量 (由命令 findsym(eq)確定的變量 )求解方程 eq=0。 X = B/A。 a21 a22]。 C1 = A.*B C2 = A.^B C3 = A*B/A C4 = A.*AA^2 syms a11 a12 a21 a22 b1 b