【正文】 KE∥y軸，交BC于點E．結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得S△CBK=．則根據(jù)圖形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相關(guān)線段的長度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．解：（1）把點A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣3；（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由題意得，點C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC==5．如圖1，過點Q作QH⊥AB于點H．∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴，即，∴HQ=t．∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．當(dāng)△PBQ存在時，0＜t＜2∴當(dāng)t=1時，S△PBQ最大=．答：運(yùn)動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直線BC的解析式為y=x﹣3．∵點K在拋物線上．∴設(shè)點K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過點K作KE∥y軸，交BC于點E．則點E的坐標(biāo)為（m，m﹣3）．∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．當(dāng)△PBQ的面積最大時，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．∴S△CBK=．S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m）=4?EK=2（﹣m2+m）=﹣m2+3m．即：﹣m2+3m=．解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意該點的運(yùn)動范圍，即自變量的取值范圍．8．如圖，若b是正數(shù)，直線l：y=b與y軸交于點A；直線a：y=x﹣b與y軸交于點B；拋物線L：y=﹣x2+bx的頂點為C，且L與x軸右交點為D．（1）若AB=8，求b的值，并求此時L的對稱軸與a的交點坐標(biāo)；（2）當(dāng)點C在l下方時，求點C與l距離的最大值；（3）設(shè)x0≠0，點（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點（x0，0）與點D間的距離；（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為“美點”，分別直接寫出b=2019和b=“美點”的個數(shù)．【答案】（1）b=4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）；（4）當(dāng)b=2019時“美點”的個數(shù)為4040個，b=“美點”的個數(shù)為1010個．【解析】【分析】（1）求出A、B 的坐標(biāo)，由AB=8，可求出b的值．從而得到L的解析式，找出L的對稱軸與a的交點即可；（2）通過配方，求出L的頂點坐標(biāo)，由于點C在l下方，則C與l的距離，配方即可得出結(jié)論；（3）由題意得y1+y2=2y3，進(jìn)而有b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）解得x0的值，求出L與x軸右交點為D的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（4）①當(dāng)b=2019時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x直線解析式a：y=x﹣2019，美點”總計4040個點，②當(dāng)b=，拋物線解析式L：y=﹣x2+，直線解析式a：y=x﹣，“美點”共有1010個．【詳解】（1）當(dāng)x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B （0，﹣b）．∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的對稱軸x=2，當(dāng)x=2時，y=x﹣4=﹣2，∴L的對稱軸與a的交點為（2，﹣2 ）；（2）y=﹣（x）2，∴L的頂點C（，）．∵點C在l下方，∴C與l的距離b（b﹣2）2+1≤1，∴點C與l距離的最大值為1；（3）∵y3是y1，y2的平均數(shù)，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b．∵x0≠0，∴x0=b，對于L，當(dāng)y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，x2=b．∵b＞0，∴右交點D（b，0），∴點（x0，0）與點D間的距離b﹣（b）．（4）①當(dāng)b=2019時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x，直線解析式a：y=x﹣2019．聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一個整數(shù)x的值都對應(yīng)的一個整數(shù)y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019）共有2021個整數(shù)；∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2021個整數(shù)點，∴總計4042個點．∵這兩段圖象交點有2個點重復(fù)，∴美點”的個數(shù)：4042﹣2=4040（個）；②當(dāng)b=，拋物線解析式L：y=﹣x2+，直線解析式a：y=x﹣，聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1=﹣1，x2=，∴當(dāng)x取整數(shù)時，在一次函數(shù)y=x﹣，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點”為0，在二次函數(shù)y=x2+，當(dāng)x為偶數(shù)時，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知﹣ 間有1010個偶數(shù)，因此“美點”共有1010個．故b=2019時“美點”的個數(shù)為4040個，b=“美點”的個數(shù)為1010個．【點睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．9．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點O為坐標(biāo)原點，OC=3OA，拋物線C1的頂點為G．（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標(biāo)；（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線CC2于P、Q兩點，試探究在直線y=﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3，點G的坐標(biāo)為（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由點A的坐標(biāo)及OC=3OA得點C坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入解析式求解可得；（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x軸于點D，設(shè)BD′=m，由等邊三角形性質(zhì)知點B′的坐標(biāo)為（m+1，0），點G′的坐標(biāo)為（1，m），代