【正文】 2 或 0. 交集的運(yùn)算 [例 2] (1)若 A＝ {0,1,2,3}， B＝ {x|x＝ 3a， a∈ A}，則 A∩ B等于 ( ) A． {1,2} B． {0,1} C． {0,3} D． {3} (2)設(shè)集合 A＝ {x|－ 1≤ x≤2} ， B＝ {x|0≤ x≤4} ，則 A∩ B等于 ( ) A． {x|0≤ x≤2} B． {x|1≤ x≤2} C． {x|0≤ x≤4} D． {x|1≤ x≤4} [解析 ] (1)A＝ {0,1,2,3}， B＝ {x|x＝ 3a， a∈ A}， ∴ B＝ {0,3,6,9}， ∴ A∩ B＝ {0,3}． (2)在數(shù)軸上表示出集合 A與 B，如下圖． 則由交集的定義， A∩ B＝ {x|0≤ x≤2} ． [答案 ] (1)C (2)A [類題通法 ] 求交集運(yùn)算應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn) (1)求交集就是求兩集合的所有公共元素形成的集合． (2)利用 集合的并、交求參數(shù)的值時(shí)，要檢驗(yàn)集合元素的互異性． [活學(xué)活用 ] 已知 M＝ {1,2， a2－ 3a－ 1}， N＝ {－ 1， a,3}， M∩ N＝ {3}，求實(shí)數(shù) a的值． 解： ∵ M∩ N＝ {3}， ∴ 3∈ M； ∴ a2－ 3a－ 1＝ 3，即 a2－ 3a－ 4＝ 0， 解得 a＝－ 1或 4. 但當(dāng) a＝－ 1時(shí)，與集合中元素的互異性矛盾； 當(dāng) a＝ 4時(shí)， M＝ {1,2,3}， N＝ {－ 1,3,4}，符合題意． ∴ a＝ 4. 交集、并集的性質(zhì)及應(yīng)用 [例 3] 已知集合 A＝ {x|－ 3x≤4} ，集合 B＝ {x|k＋ 1≤ x≤2 k－ 1}，且 A∪ B＝ A，試求k的取值范圍． [解 ] ∵ A∪ B＝ A， ∴ B?A， ∴ B＝ ?或 B≠ ?. (1)當(dāng) B＝ ?時(shí)， k＋ 12k－ 1， ∴ k2. (2)當(dāng) B≠ ?，則根據(jù)題意如圖所示： 根據(jù)數(shù)軸可得 ????? k＋ 1≤2 k－ 1，－ 3k＋ 1，2k－ 1≤4 ， 解得 2≤ k≤ 52. 綜合 (1)(2)可得 {k|k≤ 52}． [類題通法 ] 并 集、交集的性質(zhì)應(yīng)用技巧 對(duì)于涉及集合運(yùn)算的問(wèn)題，可利用集合運(yùn)算的等價(jià)性 (即若 A∪ B＝ A，則 B?A，反之也成立；若 A∩ B＝ B，則 B?A，反之也成立 )，轉(zhuǎn)化為相關(guān)集合之間的關(guān)系求解． [活學(xué)活用 ] 把本例中的條件 “ A∪ B＝ A” 換為 “ A∩ B＝ A” ，求 k的取值范圍． 解： ∵ A∩ B＝ A， ∴ A?B. 又 A＝ {x|－ 3x≤4} ， B＝ {x|k＋ 1≤ x≤2 k－ 1}，可知 B≠ ?. 由數(shù)軸 可知????? k＋ 1≤ － 3，2k－ 1≥4 ， 解得 k∈ ?， 即當(dāng) A∩ B＝ A時(shí)， k的取值范圍為 ?. [典例 ] (1)已知 M＝ {2， a2－ 3a＋ 5,5}， N＝ {1， a2－ 6a＋ 10,3}， M∩ N＝ {2,3}，則 a的值是 ( ) A． 1或 2 B． 2或 4 C． 2 D． 1 (2)集合 A＝ {x|x2－ 3x＋ 2＝ 0}， B＝ {x|x2－ 2x＋ a－ 1＝ 0}， A∩ B＝ B，則 a 的取值范圍為 ________． [解析 ] (1)∵ M∩ N＝ {2,3}， ∴ a2－ 3a＋ 5＝ 3， ∴ a＝ 1或 a＝ 1時(shí)， N＝ {1,5,3}，M＝ {2,3,5}不合題意；當(dāng) a＝ 2時(shí)， N＝ {1,2,3}， M＝ {2,3,5}符合題意． (2)由題意，得 A＝ {1,2}， ∵ A∩ B＝ B， ∴ 當(dāng) B＝ ?時(shí)， (－ 2)2－ 4(a－ 1)0，解得 a2； 當(dāng) 1∈ B時(shí)， 1－ 2＋ a－ 1＝ 0，解得 a＝ 2，且此時(shí) B＝ {1}，符合題意； 當(dāng) 2∈ B時(shí)， 4－ 4＋ a－ 1＝ 0，解得 a＝ 1，此時(shí) B＝。2 或 1或 x＝ 177。1. 此時(shí) A＝ {－ 1}，或 A＝ {1}，符合題意． ∴ a＝ 0或 a＝ 177。 a178。1 ＋ a≤0 ，即 a≤ － 2. 答案： a≤ － 2 8．已知－ 5∈ {x|x2－ ax－ 5＝ 0}，則集合 {x|x2－ 4x－ a＝ 0}中所有元素之和為 ________． 解析：由－ 5∈ {x|x2－ ax－ 5＝ 0}得 (－ 5)2－ a179。 x2∈ A B． x2178。1 且 a≠0) ．若 3∈ M，則在 M中還有三個(gè)元素是什么？ 解： ∵ 3∈ M， ∴ 1＋ 31－ 3＝－ 2∈ M， ∴ 1＋ －1－ － ＝－ 13∈ M， ∴1＋ － 131－ － 13＝2343＝ 12∈ M. 又 ∵1＋ 121－ 12＝ 3∈ M， ∴ 在 M中還有元素－ 2，－ 13， 12. 第二課時(shí) 集合的表示 列舉法 [提出問(wèn)題 ] 觀察下列集合： (1)中國(guó)古代四大發(fā)明組成的集合； (2)20的所有正因數(shù)組成的集合． 問(wèn)題 1：上述兩個(gè)集合中的元素能一一列舉出來(lái)嗎？ 提示：能． (1)中的元素為造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥， (2)中的元素為： 1,2,4,5,10,20. 問(wèn)題 2：如何表示上述兩個(gè)集合？ 提示：用列舉法表示． [導(dǎo)入新知 ] 列舉法 把集合的元素 一一列舉 出來(lái)，并用花括號(hào) “{}” 括起來(lái)表示集合的方法叫做 列舉法． [化解疑難 ] 使用列舉法表示集合的四個(gè)注意點(diǎn) (1)元素間用 “ ， ” 分隔開(kāi)，其一般形式為 {a1， a2， ? ， an}； (2)元素不重復(fù)，滿足元素的互異性； (3)元素?zé)o順序，滿足元素的無(wú)序性； (4)對(duì)于含有有限個(gè)元素且個(gè)數(shù)較少的集合，采取該方法較合適；若元素個(gè)數(shù)較多或有無(wú)限個(gè)且集合中的元素呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不會(huì)產(chǎn)生誤解的情況下，也可以列舉出幾個(gè)元素 作為代表，其他元素用省略號(hào)表示 . 描述法 [提出問(wèn)題 ] 觀察下列集合： (1)不等式 x－ 2≥ 3的解集； (2)函數(shù) y＝ x2－ 1的圖象上的所有點(diǎn)． 問(wèn)題 1：這兩個(gè)集合能用列舉法表示嗎？ 提示：不能． 問(wèn)題 2：如何表示這兩個(gè)集合？ 提示：利用描述法． [導(dǎo)入新知 ] 描述法 (1)定義：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法． (2)具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的 一般符號(hào) 及 取值 (或變化 )范圍 ，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的 共同特征． [化解疑難 ] 1．描述法表示集合的條件 對(duì)于元素個(gè)數(shù)不確定且元素間無(wú)明顯規(guī)律的集合，不能將它們一一列舉出來(lái)，可以將集合中元素的共同特征描述出 來(lái)，即采用描述法． 2．描述法的一般形式 它的一般形式為 {x∈ A|p(x)}，其中的 x 表示集合中的代表元素， A 指的是元素的取值范圍； p(x)則是表示這個(gè)集合中元素的共同特征，其中 “|” 將代表元素與其特征分隔開(kāi)來(lái)． 一般來(lái)說(shuō)集合元素 x的取值范圍 A需寫明確，但若從上下文的關(guān)系看， x∈ A是明確的，則 x∈ A可以省略，只寫元素 x. 用列舉法表示集合 [例 1] 若集合 A＝ {(1,2)， (3,4)}，則集合 A中元素的個(gè)數(shù)是 ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 (2)用列舉法表示下列集合． ① 不大于 10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合； ② 方程 x2＝ x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合； ③ 直線 y＝ 2x＋ 1與 y軸的交點(diǎn)所組成的集合； ④ 方程組????? x＋ y＝ 1，x－ y＝－ 1 的解． (1)[解析 ] 集合 A＝ {(1,2)， (3,4)}中有兩個(gè)元素 (1,2)和 (3,4)． [答案 ] B (2)[解 ] ① 因?yàn)椴淮笥?10 是指小于或等于 10，非負(fù)是大于或等于 0 的意思 ，所以不大于 10的非負(fù)偶數(shù)集是 {0,2,4,6,8,10}． ② 方程 x2＝ x的解是 x＝ 0或 x＝ 1，所以方程的解組成的集合為 {0,1}． ③ 將 x＝ 0 代入 y＝ 2x＋ 1，得 y＝ 1，即交點(diǎn)是 (0,1)，故兩直線的交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}． ④ 解方程組????? x＋ y＝ 1，x－ y＝－ 1， 得 ????? x＝ 0，y＝ 1. ∴ 用列舉法表示方程組????? x＋ y＝ 1，x－ y＝－ 1 的解集為 {(0,1)}． [類題通法 ] 用列舉法表示集合的步驟 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列舉出來(lái)，且相同元素只能列舉一次； (3)用花括號(hào)括起來(lái)． [活學(xué)活用 ] 已知集合 A＝ {－ 2，－ 1,0,1,2,3}，對(duì)任意 a∈ A，有 |a|∈ B，且 B中只有 4個(gè)元素，求集合 B. 解：對(duì)任意 a∈ A，有 |a|∈ B. 因?yàn)榧?A＝ {－ 2，－ 1,0,1,2,3}， 由－ 1，－ 2,0,1,2,3∈ A，知 0,1,2,3∈ B. 又因?yàn)?B中只有 4個(gè)元素， 所以 B＝ {0,1,2,3}. 用描述法表示集合 [例 2] (1)用符號(hào) “ ∈ ” 或 “ ?” 填空： ① A＝ {x|x2－ x＝ 0}，則 1________A，－ 1________A； ② (1,2)________{(x， y)|y＝ x＋ 1}． (2)用描述法表示下列集合： ① 正偶數(shù)集； ② 被 3除余 2的正整數(shù)的集合； ③ 平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合． (1)[解析 ] ① 將 1代入方程成立，將－ 1代入方程不成立，故 1∈ A，－ 1?A. ② 將 x＝ 1， y＝ 2代入 y＝ x＋ 1成立，故填 ∈ . [答案 ] ①∈ ? ②∈ (2)[解 ] ① 偶數(shù)可用式子 x＝ 2n， n∈ Z 表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定 n∈ N*，所以正偶數(shù)集可表示為 {x|x＝ 2n， n∈ N*}． ② 設(shè)被 3除余 2的數(shù)為 x，則 x＝ 3n＋ 2， n∈ Z，但元素為正整數(shù)，故 x＝ 3n＋ 2， n∈ N，所以被 3除余 2的正整數(shù)集合可表示為 {x|x＝ 3n＋ 2， n∈ N}． ③ 坐標(biāo)軸上的點(diǎn) (x， y)的特點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)為 0，即 xy＝ 0，故坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為 {(x， y)|xy＝ 0}． [類題通法 ] 利用描述法表示集合應(yīng)關(guān)注五點(diǎn) (1)寫清楚該集合代表元素的符號(hào) ．例如，集合 {x∈ R|x1}不能寫成 {x1}． (2)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號(hào)內(nèi)．例如， {x∈ Z|x＝ 2k}， k∈ Z，這種表達(dá)方式就不符合要求，需將 k∈ Z也寫進(jìn)花括號(hào)內(nèi)，即 {x∈ Z|x＝ 2k， k∈ Z}． (3)不能出現(xiàn)未被說(shuō)明的字母． (4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí)可以省略不寫．例如，方程 x2－ 2x＋ 1＝ 0的實(shí)數(shù)解集可表示為 {x∈ R|x2－ 2x＋ 1＝ 0}，也可寫成 {x|x2－ 2x＋ 1＝ 0}． (5)在不引起混淆的情況下，可省去豎線及代表元素，如 {直角三角形 }， {自然數(shù) }等 ． [活學(xué)活用 ] 下列三個(gè)集合： ① A＝ {x|y＝ x2＋ 1}； ② B＝ {y|y＝ x2＋ 1}； ③ C＝ {(x， y)|y＝ x2＋ 1}． (1)它們是不是相同的集合？ (2)它們各自的含義分別是什么？ 解： (1)由于三個(gè)集合的代表元素互不相同，故它們是互不相同的集合． (2)集合 A＝ {x|y＝ x2＋ 1}的代表元素是 x，且 x∈ R，所以 {x|y＝ x2＋ 1}＝ R，即 A＝ R；集合 B＝ {y|y＝ x2＋ 1}的代表元素是 y，滿足條件 y＝ x2＋ 1的 y的取值范圍是 y≥1 ，所以 {y|y＝ x2＋ 1}＝ {y|y≥1} ． 集合 C＝ {(x， y)|y＝ x2＋ 1}的代表元素是 (x， y)，是滿足 y＝ x2＋ 1 的數(shù)對(duì)．可以認(rèn)為 集合 C是坐標(biāo)平面內(nèi)滿足 y＝ x2＋ 1的點(diǎn) (x， y)構(gòu)成的集合，其實(shí)就是拋物線 y＝ x2＋ 1的圖象 . 集合表示的應(yīng)用 [例 3] (1)集合 A＝ {1，－ 3,5，－ 7,9， ?} 用描述法可表示為 ( ) A． {x|x＝ 2n177。1. 當(dāng) a＝ 1時(shí)， A＝ {－ 2,1，－ 3}，滿足題意；當(dāng) a＝－ 1時(shí)，由 (2)知不合題意． 綜上可知： a＝ 0或 a＝ 1. 答案： 0或 1 [隨堂即時(shí)演練 ] 1．下列說(shuō)法正確的是 ( ) A．某班中年齡較小的同學(xué)能夠形成一個(gè)集合 B．由 1,2,3和 9， 1， 4組成的集合不相等 C．不超過(guò) 20的非負(fù)數(shù)組成一個(gè)集合 D．方程 (x－ 1)(x＋ 1)2＝ 0的所有解構(gòu)成的集合中有 3個(gè)元素 解析：選 C A 項(xiàng)中元素不確定． B 項(xiàng)中兩個(gè)集合元素相同，因集合