【正文】 中的元素具有無序性，所以兩個(gè)集合相等． D項(xiàng)中方程的解分別是 x1＝ 1， x2＝ x3＝－ ，構(gòu)成的集合含 2個(gè)元素． 2．若以集合 A的四個(gè)元素 a、 b、 c、 d為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是 ( ) A．梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形 解析：選 A 由于 a、 b、 c、 d 四個(gè)元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等． 3．下列說法中 ① 集合 N 與集合 N＋ 是同一個(gè)集合 ② 集合 N 中的元素都是集合 Z 中的元素 ③ 集合 Q中的元素都是集合 Z 中的元素 ④ 集合 Q 中的元素都是集合 R 中的元素 其中正確的有 ________． 解析：因?yàn)榧?N＋ 表示正整數(shù)集， N表示自然數(shù)集， Z表示整數(shù)集， Q 表示有理數(shù)集， R表示實(shí)數(shù)集，所以 ①③ 中的說法不正確， ②④ 中的說法正確． 答案： ②④ 4．設(shè)由 2,4,6構(gòu)成的集合為 A，若實(shí)數(shù) a∈ A時(shí)， 6－ a∈ A，則 a＝ ________. 解析：代入驗(yàn)證，若 a＝ 2，則 6－ 2＝ 4∈ A，符合題意；若 a＝ 4，則 6－ 4＝ 2∈ A，符合題意；若 a＝ 6，則 6－ 6＝ 0?A，不符合題意，舍去 ，所以 a＝ 2或 a＝ 4. 答案： 2或 4 5．已知集合 A中含有兩個(gè)元素 x， y，集合 B中含有兩個(gè)元素 0， x2，若 A＝ B，求實(shí)數(shù)x， y的值． 解：因?yàn)榧?A， B相等，則 x＝ 0或 y＝ 0. (1)當(dāng) x＝ 0時(shí)， x2＝ 0，則 B＝ {0,0}，不滿足集合中元素的互異性，故舍去． (2)當(dāng) y＝ 0時(shí)， x＝ x2，解得 x＝ 0或 x＝ (1)知 x＝ 0應(yīng)舍去．綜上知： x＝ 1， y＝ 0. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè) ] 一、選擇題 1．下列判斷正確的個(gè)數(shù)為 ( ) (1)所有的等腰三角形構(gòu)成一個(gè)集合． (2)倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合． (3)質(zhì)數(shù) 的全體構(gòu)成一個(gè)集合． (4)由 2,3,4,3,6,2 構(gòu)成含有 6個(gè)元素的集合． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析：選 C (1)正確， (2)若 1a＝ a，則 a2＝ 1， ∴ a＝ 177。1. 經(jīng)檢驗(yàn)， x＝ 1不適合集合元素的互異性，而 x＝－ 1適合． ∴ x＝－ 1. [答案 ] － 1 [易錯(cuò)防范 ] 1．上面例題易由方程組求得 x＝ 177。 【三維設(shè)計(jì)】 2021高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念學(xué)案 新人教 A版必修 1 集 __合 1． 集合的含義與表示 第一課時(shí) 集合的含義 集合的概念 [提出問題 ] 觀察下列實(shí)例： (1)山東天成書業(yè)集團(tuán)的所有員工； (2)平面內(nèi)到定點(diǎn) O的距離等于定長(zhǎng) d的所有的點(diǎn)； (3)不等式組????? x＋ 1≥3x2≤9 的整數(shù)解； (4)方程 x2－ 5x＋ 6＝ 0的實(shí)數(shù)根； (5)某中學(xué)所有較胖的同學(xué)． 問題 1：上述實(shí)例中的研究對(duì)象各是什么？ 提示：?jiǎn)T工、點(diǎn)、整數(shù)解、實(shí)數(shù)根、較胖的同學(xué)． 問題 2：你能確定上述實(shí)例的研究對(duì)象嗎？ 提示： (1)(2)(3)(4)的研究對(duì)象可以確定． 問題 3：上述哪些實(shí)例的研究對(duì)象不能確定？為什么？ 提示： (5)的研究對(duì)象不能確定，因?yàn)?“ 較胖 ” 這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不明確，故無法確定． [導(dǎo)入新知 ] 元素與集合的概念 定義 表示 元素 一般地，我們把 研究對(duì)象 統(tǒng)稱為元素 通常用 小寫拉丁字母 a， b， c， ? 表示 集合 把一些元素 組成的 總體 叫做集合 (簡(jiǎn)稱為集 ) 通常用 大寫拉丁字母 A， B， C， ? 表示 [化解疑難 ] 準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)集合的含義 (1)集合的概念是一種描述性說明，因?yàn)榧鲜菙?shù)學(xué)中最原始的、不加定義的概念，這與我們初中學(xué)過的點(diǎn)、直線等概念一樣，都是用描述性語(yǔ)言表述的． (2)集合含義中的 “ 元素 ” 所指的范圍非常廣泛，現(xiàn)實(shí)生活中我們看到的、聽到的、聞到的、觸摸到的、想到的各種各樣的事物或一些抽象的符號(hào)等，都可以看作 “ 對(duì)象 ” ，即集合中的元素 . 元素的特性及集合相等 [提出問 題 ] 問題 1：上述實(shí)例 (3)組成的集合的元素是什么？ 提示： 2,3. 問題 2：上述實(shí)例 (4)組成的集合的元素是什么？ 提示： 2,3. 問題 3：實(shí)例 (3)與實(shí)例 (4)組成的集合有什么關(guān)系？ 提示：相等． [導(dǎo)入新知 ] 1．集合相等 只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是 一樣的 ，我們就稱這兩個(gè)集合相等． 2．集合元素的特性 集合元素的特性： 確定性 、 互異性 、無序性． [化解疑難 ] 對(duì)集合中元素特性的理解 (1)確定性：是指作為一個(gè)集合的元素必須是明確的，不能確定的對(duì)象不能構(gòu)成集合．也就是說，給定一個(gè)集合，任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè) 集合的元素是確定的． (2)互異性：對(duì)于給定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的對(duì)象歸入同一個(gè)集合時(shí)只能算作集合的一個(gè)元素． (3)無序性：對(duì)于給定的集合，其中的元素是不考慮順序的．如 1,2,3與 3,2,1 構(gòu)成的集合是同一個(gè)集合． 元素與集合的關(guān)系及常用數(shù)集的記法 [提出問題 ] 某中學(xué) 2021年高一年級(jí) 20個(gè)班構(gòu)成一集合． 問題 1：高一 (6)班、高一 (16)班是這個(gè)集合的元素嗎？ 提示：是這個(gè)集合的元素． 問題 2：高二 (3)班是這個(gè)集合中的元 素嗎？為什么？ 提示：不是．高一年級(jí)這個(gè)集合中沒有高二 (3)班這個(gè)元素． [導(dǎo)入新知 ] 1．元素與集合的關(guān)系 (1)如果 a是集合 A的元素，就說 a屬于 集合 A，記作 a∈ A. (2)如果 a不是集合 A中的元素，就說 a不屬于 集合 A，記作 a?A. 2．常用的數(shù)集及其記法 常用的數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 記法 N N*或 N＋ Z Q R [化解疑難 ] 1．對(duì) ∈ 和 ?的理解 (1)符號(hào) “ ∈ ”“ ?” 刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系．對(duì)于一個(gè)元素 a 與一個(gè)集合 A而言，只有 “ a∈ A” 與 “ a?A” 這兩種結(jié)果 ． (2)∈ 和 ?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如 R∈ 0是錯(cuò)誤的． 2．常用數(shù)集關(guān)系網(wǎng) 實(shí)數(shù)集 R????? 有理數(shù)集 Q????? 整數(shù)集 Z??? ?????正整數(shù)集 N*{0} 自然數(shù)集 N負(fù)整數(shù)集分?jǐn)?shù)集無理數(shù)集 集合的基本概念 [例 1] (1)下列各組對(duì)象： ① 接近于 0 的數(shù)的全體； ② 比較小的正整數(shù)的全體； ③ 平面上到點(diǎn) a 的距離等于 1的點(diǎn)的全體； ④ 正三角形的全體； ⑤ 2的近似值的全體．其中能構(gòu)成集合的組數(shù)是 ( ) A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 (2)判斷下列說法是否正確，并說明理由． ① 某個(gè)公司里所有的年輕人組成一個(gè)集合； ② 由 1， 32， 64， ??? ???－ 12 ， 12組成的集合有五個(gè)元素； ③ 由 a， b， c組成的集合與由 b， a， c組成的集合是同一個(gè)集合． [解析 ] (1)“ 接近于 0的數(shù) ”“ 比較小的正整數(shù) ” 標(biāo)準(zhǔn)不明確，即元素不確定，所以①② 不是集合．同樣， “ 2的近似值 ” 也不明確精確到什么程度，因此很難判定一個(gè)數(shù)，比如 2是不是它的近似值，所以 ⑤ 也不是一個(gè)集合． ③④ 能構(gòu)成集合． [答案 ] A (2)[解 ] ① 不正確．因?yàn)?“ 年輕人 ” 沒有確定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)象不具有確定性，所以不能組成集合． ② 不正確．由于 32＝ 64， ??? ???－ 12 ＝ 12，由集合中元素的互異性知，這個(gè)集合是由 1， 32， 12這三個(gè)元素組成的． ③ 正確．集合中的元素相同，只是次序不同，所以它們?nèi)员硎就粋€(gè)集合． [類題通法 ] 判斷一組對(duì)象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)及其關(guān)注點(diǎn) (1)標(biāo)準(zhǔn)：判斷一組對(duì)象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對(duì)象是否滿足確定性，如果此組對(duì)象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合． (2)關(guān)注 點(diǎn)：利用集合的含義判斷一組對(duì)象能否組成一個(gè)集合，應(yīng)注意集合中元素的特性，即確定性、互異性和無序性． [活學(xué)活用 ] 下列說法正確的是 ( ) A．小明身高 m，則他應(yīng)該是高個(gè)子的總體這一集合中的一個(gè)元素 B．所有大于 0小于 10的實(shí)數(shù)可以組成一個(gè)集合，該集合有 9個(gè)元素 C．平面上到定直線的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合是一條直線 D．任意改變一個(gè)集合中元素的順序，所得集合仍和原來的集合相等 解析：選 D A 中的高個(gè)子標(biāo)準(zhǔn)不能確定，因而不能構(gòu)成集合； B 中對(duì)象能構(gòu)成集合，但元素有無窮多個(gè)； C中對(duì)象構(gòu)成的是兩條直線 ， D反映的是集合元素的無序性 . 元素與集合的關(guān)系 [例 2] (1)設(shè)集合 A只含有一個(gè)元素 a，則下列各式正確的是 ( ) A． 0∈ A B． a?A C． a∈ A D． a＝ A (2)下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是 ( ) ① π ∈ R； ② 3?Q； ③0∈ N*； ④| － 4|?N* A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 [解析 ] (1)由元素與集合的關(guān)系可知， a∈ A. (2)① π ∈ R 顯然是正確的； ② 3是無理數(shù)，而 Q 表示有理數(shù)集 ， ∴ 3?Q，正確； ③N*表示不含 0的自然數(shù)集， ∴ 0?N*， ③ 錯(cuò)誤； ④ |－ 4|＝ 4∈ N*， ④ 錯(cuò)誤，所以 ①② 是正確的． [答案 ] (1)C (2)B [類題通法 ] 判斷元素與集合間關(guān)系的方法 判斷一個(gè)對(duì)象是否為某個(gè)集合的元素，就是判斷這個(gè)對(duì)象是否具有這個(gè)集合的元素具有的共同特征．如果一個(gè)對(duì)象是某個(gè)集合的元素，那么這個(gè)對(duì)象必具有這個(gè)集合的元素的共同特征． [活學(xué)活用 ] 設(shè)不等式 3－ 2x0的解集為 M，下列正確的是 ( ) A． 0∈ M,2∈ M B． 0?M,2∈ M C． 0∈ M,2?M D． 0?M,2?M 解析：選 B 從四個(gè)選項(xiàng)來看，本題是判斷 0和 2與集合 M間的關(guān)系，因此只需判斷 0和 2是否是不等式 3－ 2x0的解即可．當(dāng) x＝ 0時(shí)， 3－ 2x＝ 30，所以 0不屬于 M，即 0?M；當(dāng) x＝ 2時(shí)， 3－ 2x＝－ 10，所以 2屬于 M，即 2∈ M. 集合中元素的特性及應(yīng)用 [例 3] 已知集合 A中含有兩個(gè)元素 a和 a2，若 1∈ A，求實(shí)數(shù) a的值． [解 ] 若 1∈ A，則 a＝ 1或 a2＝ 1，即 a＝ 177。1. 當(dāng) a＝ 1時(shí)， a＝ a2，集合 A有一個(gè)元素， ∴ a≠1. 當(dāng) a＝－ 1時(shí) ， 集合 A含有兩個(gè)元素 1，－ 1，符合互異性． ∴ a＝－ 1. [類題通法 ] 關(guān)注元素的互異性 根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能取值，但要時(shí)刻關(guān)注集合中元素的三個(gè)特性，尤其是互異性，解題后要注意進(jìn)行檢驗(yàn)． [活學(xué)活用 ] 設(shè) A表示由 a2＋ 2a－ 3,2,3構(gòu)成的集合， B表示由 2， |a＋ 3|構(gòu)成的集合，已知 5∈ A，且 5?B，求 a的值． 解： ∵ 5∈ A， ∴ a2＋ 2a－ 3＝ 5，解之得 a＝ 2或 a＝－ 4. 當(dāng) a＝ 2時(shí)， |a＋ 3|＝ 5，當(dāng) a＝－ 4時(shí)， |a＋ 3|＝ 1. 又 ∵ 5?B， ∴ a＝－ 4. [典例 ] 若集合 A中有三個(gè)元素， x， x＋ 1,1，集合 B中也有三個(gè)元素 x， x＋ x2， x2，且 A＝ B，則實(shí)數(shù) x的值為 ________． [解析 ] ∵ A＝ B， ∴????? x＋ 1＝ x2，1＝ x2＋ x 或 ????? x＋ 1＝ x2＋ x，1＝ x2. 解得 x＝ 177。1 后，忽視對(duì)求出的值進(jìn)行檢驗(yàn)，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論． 2．當(dāng)集合中元素含字母并要求對(duì)其求值時(shí)，求出的值一定要加以檢驗(yàn)，看是否符合集合元素的互異性． [成功破障 ] 若集合 A中含有三個(gè)元素 a－ 3,2a－ 1， a2－ 4，且－ 3∈ A，則實(shí)數(shù) a的值為 ________． 解析： (1)若 a－ 3＝－ 3，則 a＝ 0，此時(shí) A＝ {－ 3，－ 1，－ 4}，滿足題意． (2)若 2a－ 1＝－ 3， 則 a＝－ 1，此時(shí) A＝ {－ 4，－ 3，－ 3}，不滿足元素的互異性． (3)若 a2－ 4＝－ 3，則 a＝ 177。1 ，構(gòu)成的集合為 {1，－ 1}， ∴(2)正確， (3)也正確，任何一個(gè)質(zhì)數(shù)都在此集合中，不是質(zhì)數(shù)的都不在． (3)正確， (4)不正確，集合中的元素具有互異性，構(gòu)成的集合為 {2,3,4,6}，含 4個(gè)元素，故選 C. 2．若 a∈ R，但 a?Q，則 a可以是 ( ) A． B．－ 5 D. 7 解析：選 D 由題意知 a是實(shí)數(shù)但不是有理數(shù)，故 a應(yīng)為無理數(shù)． 3．下列各組中集合 P與 Q，表示同一個(gè)集合的是 ( ) A． P是由元素