【正文】 = ， 故答案為： ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查三角函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化為斜率并數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題． 15．已知兩個(gè)正數(shù) a， b，可按規(guī)則 c=ab+a+b擴(kuò)充為一個(gè)新數(shù) c，在 a， b， c三個(gè)數(shù)中取兩個(gè)較大的數(shù)，按上述規(guī)則擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)，依次下去，將每擴(kuò)充一次得到一個(gè)新數(shù)稱(chēng)為一次操作．若 p＞ q＞ 0，經(jīng)過(guò) 6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)為（ q+1） m（ p+1） n﹣ 1（ m， n為正整數(shù)），則 m+n的值為 21 ． 【考點(diǎn)】 數(shù)列的應(yīng)用． 【專(zhuān)題】 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】 p＞ q＞ 0 第一次得： c1=pq+p+q=（ q+1）（ p+1）﹣ 1；第二次得： c2=（ p+1） 2（ q+1）﹣ 1；所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，故經(jīng)過(guò) 6次擴(kuò)充，所得 數(shù)為：（ q+1） 8（ p+1） 13﹣ 1，故可得結(jié)論． 【解答】 解：因?yàn)?p＞ q＞ 0，所以第一次得： c1=pq+p+q=（ q+1）（ p+1）﹣ 1， 因?yàn)?c＞ p＞ q，所以第二次得： c2=（ c1+1）（ p+1）﹣ 1=（ pq+p+q） p+p+（ pq+p+q） =（ p+1）2（ q+1）﹣ 1， 所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，所以第三次可得 c3=（ c2+1）（ c1+1）﹣ 1=（ p+1） 3（ q+1） 2﹣ 1， 第四次可得： c4=（ c3+1）（ c2﹣ 1）﹣ 1=（ p+1） 5（ q+1） 3﹣ 1， 故經(jīng)過(guò) 6次擴(kuò)充，所得數(shù)為：（ q+1） 8（ p+1） 13﹣ 1， 因?yàn)榻?jīng)過(guò) 6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)為（ q+1） m（ p+1） n﹣ 1（ m， n為正整數(shù)）， 所以 m=8， n=13， 所以 m+n=21． 故答案為： 21． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，求出經(jīng)過(guò)6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)是關(guān)鍵． 三、解答題：本大題共 5小題，共 80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 16．已知 f（ x） = ? ，其中 =（ 2cosx，﹣ sin2x）， =（ cosx， 1）， x∈ R． （ 1）求 f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間； （ 2）在 △ABC 中，角 A， B， C所對(duì)的邊分別為 a， b， c， f（ A） =﹣ 1， a= ，且向量 =（ 3，sinB）與 =（ 2， sinC）共線(xiàn)，求邊長(zhǎng) b和 c的值． 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；正弦定理；余弦定理． 【專(zhuān)題】 平面向量及應(yīng)用． 【分析】 （ 1）利用向量的數(shù)量積公式得到 f（ x）的解析式，然后化簡(jiǎn)求單調(diào)區(qū)間； （ 2）利用向量共線(xiàn)，得到 b， c的方程解之． 【解答】 解：（ 1）由題意知． 3分 ∵y=cosx 在 a2上單調(diào)遞減， ∴ 令 ，得 ∴f （ x）的單調(diào)遞減區(qū)間 ， 6分 （ 2） ∵ ， ∴ ，又， ∴ ，即 ， 8分 ∵ ，由余弦定理得 a2=b2+c2﹣ 2bccosA=（ b+c） 2﹣ 3bc= 因?yàn)橄蛄?與 共線(xiàn)，所以 2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3c． ∴b=3 ， c= 分． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與性質(zhì)的運(yùn)用． 17．空氣質(zhì)量指數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng) AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其數(shù)值越大說(shuō)明空氣污染越嚴(yán)重，為了及時(shí)了解空氣質(zhì)量狀況，廣東各城市都設(shè)置了實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)站．下表是某網(wǎng)站公布的廣東省內(nèi) 21個(gè)城市在 2021年 12月份某時(shí)刻實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)到的數(shù)據(jù)： 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 廣州 118 東莞 137 中山 95 江門(mén) 78 云浮 76 茂名 107 揭陽(yáng) 80 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇慶 48 清遠(yuǎn) 47 佛山 160 惠州 113 汕頭 88 汕尾 74 陽(yáng)江 112 韶關(guān) 68 梅州 84 （ 1）請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，完成下列表格： 空氣質(zhì)量 優(yōu)質(zhì) 良好 輕度污染 中度污染 AQI值范圍 [0， 50） [50， 100） [100， 150） [150， 200） 城市個(gè)數(shù) （ 2）統(tǒng)計(jì)部門(mén)從空氣質(zhì)量 “ 良好 ” 和 “ 輕度污染 ” 的兩類(lèi)城市中采用分層抽樣的方式抽取6個(gè)城市，省環(huán)保部門(mén)再?gòu)闹须S機(jī)選取 3個(gè)城市組織專(zhuān)家進(jìn)行調(diào)研，記省環(huán)保部門(mén) “ 選到空氣質(zhì)量 “ 良好 ” 的城市個(gè)數(shù)為 ξ” ，求 ξ 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；分層抽樣方法． 【專(zhuān)題】 概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】 （ 1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，能完成表格． （ 2）按分層抽樣的方法，抽出的 “ 良好 ” 類(lèi)城市為 4個(gè)，抽出的 “ 輕度污染 ” 類(lèi)城市為 2個(gè)．根據(jù)題意 ξ 的所有可能取值為： 1， 2， 3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 ξ 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)數(shù)據(jù)，完成表格如下： 空氣質(zhì)量 優(yōu)質(zhì) 良好 輕度污染 中度污染 AQI值范圍 [0， 50） [50， 100） [100， 150） [150， 200） 城市頻數(shù) 2 12 6 1 ? （ 2分） （ 2）按分層抽樣的方法，從 “ 良好 ” 類(lèi)城市中抽取 個(gè)， ? （ 3分） 從 “ 輕度污染 ” 類(lèi)城市中抽取 個(gè)， ? （ 4分） 所以抽出的 “ 良好 ” 類(lèi)城市為 4個(gè)，抽出的 “ 輕度污染 ” 類(lèi)城市為 2個(gè)． 根據(jù)題意 ξ 的所有可能取值為： 1， 2， 3． ∵ ， ， ． ? （ 8分） ∴ξ 的分布列為： ξ 1 2 3 p 所以 ． ? （ 11分） 答： ξ 的數(shù)學(xué)期望為 2個(gè)． ? （ 12分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，數(shù)據(jù)處理能力． 18．如圖， △ABC 的外接圓 ⊙O 半徑為 ， CD⊥⊙O 所在的平面， BE∥CD ， CD=4， BC=2，且BE=1， tan∠AEB=2 ． （ 1）求證：平面 ADC⊥ 平面 BCDE； （ 2）試問(wèn)線(xiàn)段 DE上是否存在點(diǎn) M，使得直線(xiàn) AM與平面 ACD所成角 的正弦值為 ？若存在，確定點(diǎn) M的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 平面與平面垂直的性質(zhì)；二面角的平面角及求法． 【專(zhuān)題】 空間位置關(guān)系與距離． 【分析】 （ 1）由已知的線(xiàn)面垂直得到 CD⊥AC ，然后利用正切值判斷 AB是直徑，得到 AC⊥BC即可，利用線(xiàn)面垂直的判定定理可證． （ 2）過(guò)點(diǎn) M作 MN⊥CD 于 N，連接 AN，作 MF⊥CB 于 F，連接 AF，可得 ∠MAN 為 MA與平面 ACD所成的角，設(shè) MN=x，則由直線(xiàn) AM與平面 ACD所成角的正弦值為 ，我們可以構(gòu)造關(guān)于 x的方程，解方程即可求出 x值，進(jìn)而得到點(diǎn) M的位置． 【解 答】 證明：（ 1） ∵CD⊥⊙O 所在的平面， AC?⊙O 所在的平面， ∴CD⊥AC ， 又 BE∥CD ， ∴BE⊥⊙O 所在的平面， ∴BE⊥AB ， 又 tan∠AEB=2 = ． ∴AB=2 ， ∴AB 是圓的直徑， ∴AC⊥BC ， CD∩BC=C ， ∴ 平面 ADC⊥ 平面 BCDE； ? （ 6分） （ 2）假設(shè)點(diǎn) M存在，過(guò)點(diǎn) M作 MN⊥CD 于 N，連接 AN，作 MF⊥CB 于 F，連接 AF， ∵ 平面 ADC⊥ 平面 BCDE， ∴MN⊥ 平面 ACD， ∴∠MAN 為 MA與平面 ACD所成的角， 設(shè) MN=x，計(jì)算易得， DN= x， MF=4﹣ x， 故 AM= = = ，sin∠MAN= = = ， 解得： x=﹣ （舍去） x= ， ? （ 13分） 故 MN= CB，從而滿(mǎn)足條件的點(diǎn) M存在，且 DM= DE． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面所成的角、平面與平面垂直的判定，其中（ 1）的關(guān)鍵是證得 CD⊥ 平面 ABC，（ 2）的關(guān)鍵是直線(xiàn) AM與平面 ACD所成角的正弦值為 ，構(gòu)造滿(mǎn)足條件的方程 19．已知 x∈ [0， 1]，