【正文】 程是 （其中 t為參數(shù)），圓 C的極 坐標方程為 ， （ Ⅰ ）將圓 C的極坐標方程和直線 l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程． （ Ⅱ ）過直線 l上的點向圓 C引切線，求切線長的最小值． [選修 45：不等式選講 ] 23．（ 2021?漳州三模）設(shè)函數(shù) f（ x） =|x﹣ 4|+|x﹣ 3|， （ Ⅰ ）求 f（ x）的最小值 m （ Ⅱ ）當(dāng) a+2b+3c=m（ a， b， c∈ R）時，求 a2+b2+c2的最小值． 20212021學(xué)年福建省漳州市東山二中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：（本大題共 10小題，每小題只有一個正確選項，每小 題 5分，共 50 分） 1．設(shè)復(fù)數(shù) z滿足 ，則 =（ ） A．﹣ 2+i B．﹣ 2﹣ i C． 2+i D． 2﹣ i 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算． 【專題】 計算題． 【分析】 先設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再由題意求出復(fù)數(shù) z，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出即可． 【解答】 解：設(shè) z=a+bi（ a、 b∈ R），由題意知， ， ∴1+2i=ai ﹣ b，則 a=2， b=﹣ 1， ∴z=2 ﹣ i， =2+i， 故選 C． 【點評】 本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，以及虛數(shù)單位 i 的冪運算性質(zhì)，共軛復(fù)數(shù)的概念，難度不大，屬于基礎(chǔ)題． 2．設(shè)集合 P={x| =0}，則集合 P的所有子集個數(shù)是（ ） A． 2 B． 3 C． 7 D． 8 【考點】 微積分基本定理． 【專題】 計算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 【分析】 先根據(jù)定積分求出集合 P，根據(jù)集合子集的公式 2n（其中 n為集合的元素），求出集合 A的子集個數(shù)． 【解答】 解： =（ t3﹣ 5t2+6t） | =x3﹣ 5x2+6x=x（ x﹣ 2）（ x﹣ 3）=0，解得 x=0，或 2，或 3， ∴P={0 ， 2， 3}， ∴ 集合 P的所有子集個數(shù) 23=8， 故選： D． 【點評】 此題考查學(xué)生掌握子集與真子集的定義，會利用 2n求 集合的子集，是一道基礎(chǔ)題． 3．下列結(jié)論正確的是（ ） A．若向量 ∥ ，則存在唯一的實數(shù) λ 使得 =2λ B．已知向量 ， 為非零向量，則 “ ， 的夾角為鈍角 ” 的充要條件是 “ ， ＜ 0” C．命題：若 x2=1，則 x=1或 x=﹣ 1的逆否命題為：若 x≠1 且 x≠ ﹣ 1，則 x2≠1 D．若命題 P： ? x∈ R， x2﹣ x+1＜ 0，則￢ P： ? x∈ R， x2﹣ x+1＞ 0 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用． 【專題】 簡易邏輯． 【分析】 A．若 ，則不存在實數(shù) λ 使得 =2λ ； B．若 ， ＜ 0，則 與 反向共線，此時夾角為平角 ； C．利用逆否命題的定義即可判斷出； D．利用命題的否定即可判斷出． 【解答】 解： A．若向量 ∥ ， ，則不存在實數(shù) λ 使得 =2λ ，不正確； B．若 ， ＜ 0，則 與 反向共線，此時夾角為平角，不正確； C．命題：若 x2=1，則 x=1或 x=﹣ 1的逆否命題為：若 x≠1 且 x≠ ﹣ 1，則 x2≠1 ，正確； D．命題 P： ? x∈ R， x2﹣ x+1＜ 0，則￢ P： ? x∈ R， x2﹣ x+1≥0 ，不正確． 故選： C． 【點評】 本題考查了向量共線定理及其夾角公式、逆否命題的定義、命題的否定，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題． 4．設(shè) 隨機變量 ξ 服從正態(tài)分布 N（ 3， 4），若 P（ ξ ＜ 2a﹣ 3） =P（ ξ ＞ a+2），則 a的值為（ ） A． B． C． 5 D． 3 【考點】 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義． 【專題】 計算題． 【分析】 根據(jù)隨機變量符合正態(tài)分布，又知正態(tài)曲線關(guān)于 x=3對稱，得到兩個概率相等的區(qū)間關(guān)于 x=3對稱，得到關(guān)于 a的方程，解方程即可． 【解答】 解： ∵ 隨機變量 ξ 服從正態(tài)分布 N（ 3， 4）， ∵P （ ξ ＜ 2a﹣ 3） =P（ ξ ＞ a+2）， ∴2a ﹣ 3與 a+2關(guān)于 x=3對稱， ∴2a ﹣ 3+a+2=6， ∴3a=7 ， ∴a= ， 故選 A． 【點評】 本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，本題主要考查曲線關(guān)于 x=3對稱，考查關(guān)于直線對稱的點的特點，本題是一個基礎(chǔ)題，若出現(xiàn)是一個得分題目． 5．等比數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，若 S2n=4（ a1+a3+?+a 2n﹣ 1）， a1a2a3=27，則 a6=（ ） A． 27 B． 81 C． 243 D． 729 【考點】 等比數(shù)列的性質(zhì)． 【專題】 計算題． 【分析】 利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得， a1a2a3=a23=27 從而可求 a2，結(jié)合 S2n=4（ a1+a3+?+a 2n﹣ 1） 考慮 n=1可得， S2=a1+a2=4a1從而可得 a1及公比 q，代入等比數(shù)列的通項公式可求 a6 【解答】 解：利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得， a1a2a3=a23=27 即 a2=3 因為 S2n=4（ a1+a3+?+a 2n﹣ 1） 所以 n=1時有， S2=a1+a2=4a1從而可得 a1=1， q=3 所以， a6=13 5=243 故選 C 【點評】 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的前 n項和公式及通項公式，屬基礎(chǔ)題． 6．設(shè)函數(shù) f（ x） =3sin（ ωx+φ ）（ ω ＞ 0，﹣ ＜ φ ＜ ）的圖象關(guān)于直線 x= 對稱，它的周期是 π ，則（ ） A． f（ x）的圖象過點（ 0， ）， B． f（ x）的一個對稱中心是（ ， 0） C． f（ x）在 [ ， ]上是減函數(shù) D．將 f（ x）的圖象向右平移 |φ| 個單位得到函數(shù) y=3sinωx 的圖象 【考點】 正弦函數(shù)的圖象． 【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 【分析】 先根據(jù)已知，求出周期， ω ， φ 的值，從而可得函數(shù)解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性即可判斷． 【解答】 解：因為函數(shù)的周期為 π ，所以 ω=2 ，又函數(shù)圖象關(guān)于直線 x= π 對稱， 所以由 f（ x） =3sin（ 2x+φ ）（ ω ＞ 0，﹣ ＜ φ ＜ ）， 可知 2 π+φ= kπ+ ， φ=kπ ﹣ ，﹣ ＜ φ ＜ ， 所以 k=1時 φ= ． ∴ 函數(shù)的解析式為： f（ x） =3sin（ 2x+ ）． 當(dāng) x=0時 f（ 0） = ，所以 A不正確． 當(dāng) x= 時 f（ x） =0．函數(shù)的一個對稱中心是（ ， 0） B正確； 當(dāng) ＜ x＜ ， 2x+ ∈ [ ， ]，函數(shù)不是單調(diào)減函數(shù)， C不正確； f（ x）的圖象向右平移 |φ| 個單位得到函數(shù) y=3sin（ ωx+φ ﹣ ωφ ）的圖象，不是函數(shù)y=3sinωx 的圖象， D不正確； 故選： B． 【點評】 本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性，三角函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題． 7．圖一是某校學(xué)生身高的條形統(tǒng)計圖，從左到右表示學(xué)生人數(shù)依次記為 A A ? 、 A10（如A2表示身高在 [150， 155）內(nèi)的人數(shù)）．圖二是統(tǒng)計圖一中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個算法流程圖．現(xiàn)要統(tǒng)計身高在 [160， 180）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件及輸出的 s值分別是（ ） A． i＜ 6， 1000 B． i＜ 7， 1500 C． i＜ 8， 1850 D． i＜ 9， 2050 【考點】 頻率分布直方圖；程序框圖． 【專題】 計算題；概率與統(tǒng)計． 【分析】 該流程圖的目的是算出身高在 [160， 180）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，因此循環(huán)體需計算 i= 7時，四個 Ai的和，由此可得判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是： “i ＜ 8” ．再根據(jù)統(tǒng)計條形圖，不難算出這四個小組的頻數(shù)之和，得到本題的答案． 【解答】 解：為了統(tǒng)計身高在 [160， 180）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，先算出從 160到 180的小組分別有 [160， 1165）， [165， 170）， [170， 175）， [175， 180）共有四組，分別為第 4組、第 5組、第 6組和第 7組． 因此，當(dāng) i=4時開始，直到 i=7時算出這四組的頻數(shù)之和， 說明 i≥8 時結(jié)束循環(huán)