福建省福州市20xx-20xx學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷理科word版含解析(參考版)
2024-11-19 18:36本頁面
【正文】 （ a） =a2， 所以曲線在點(diǎn) P 處的切線方程為 y=a2（ x﹣ a），即 g（ x） =a2x﹣ a3， 令 h（ x） =f（ x）﹣ g（ x） =x3﹣ ax2﹣ a2x+a3， 在區(qū)間（ a， +∞）上單調(diào)遞減， 所以當(dāng) x=a 時(shí)， h（ x）有最小值， 所以 h（ x） ≥ 0， 則 f（ x） ≥ g（ x）． 22．如圖，已知直線與拋物線 y2=2px（ p＞ 0）交于 M， N 兩點(diǎn)，點(diǎn) D 的坐 標(biāo)為 ，OD⊥ MN 交 MN 于點(diǎn) D， OM⊥ ON，拋物線的焦點(diǎn)為 F． （ 1）求 p 的值；（ 2）記條件（ 1）所求拋物線為曲線 C，過點(diǎn) F作兩條斜率存在且互相垂直的直線 l1， l2，設(shè) l1與曲線 C 相交于點(diǎn) A， B， l2與曲線 C 相交于點(diǎn) D， E，求 ? 的最小值． 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】 （ 1）由 OM⊥ ON，得 x1x2+y1y2=0，由 與 y2=2px消去 x，得，利用韋達(dá)定理，即可求 p 的值； （ 2）設(shè)出直線 l1的方程，理想直線和拋物線的方程，消去 y，得到關(guān)于 x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出兩根之和和兩根之積 ，同理可求出直線 l2的方程與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入 ? ，利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值． 【解答】 解：（ 1）設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2），由 OM⊥ ON，得 x1x2+y1y2=0 由已知得直線 MN 的方程是 即 ， 則有 ，即 ① 由 與 y2=2px消去 x，得 ② 所以 ③ 把 ③代入 ①得 ，解得 p=2 當(dāng) p=2 時(shí)方程 ②成為 ，顯然此方程有實(shí)數(shù)根 所以 p=2； （ 2）由（ 1）知拋物線方程為 y2=4x 由題意知，直線 l1的斜率存在且不為 0，設(shè)為 k，則 l1的方程為 y=k（ x﹣ 1）． 得 k2x2﹣（ 2k2+4） x+k2=0． 設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），則 x1， x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是 x1+x2=2+ ， x1x2=1． ∵ l1⊥ l2， ∴ l2的斜率為﹣ ． 設(shè) D（ x3， y3）， E（ x4， y4），則同理可得 x3+x4=2+4k2， x3x4=1． ? =（ x1+1）（ x2+1） +（ x3+1）（ x4+1） =x1x2+（ x1+x2） +1+x3x4+（ x3+x4） +1 =1+（ 2+ ） +1+1+（ 2+4k2） +1 =8+4（ k2+ ） ≥ 8+4 2=16． 當(dāng)且僅當(dāng) k2= ，即 k=177。（ x） ≥ 0， 所以函數(shù) g（ x）在定義域（ 0， +∞）上單調(diào)遞增． 當(dāng) a＞ 6 時(shí)，令 ， 則 ， 可知函數(shù) g（ x）在 上單調(diào)遞增， 在 單調(diào)遞減， 在 上單 調(diào)遞增． 證明：（ 2）令 f（ x） =0，則 x=0 或 x=a 若曲線 y=f（ x）與 x軸正半軸有交點(diǎn)， 則 a＞ 0 且交點(diǎn)坐標(biāo)為 P（ a， 0）， 又 f39。 ， M， N 分別是 PD， PB 的中點(diǎn)． （ 1）求證： MQ∥ 平面 PCB； （ 2）求 截面 MCN 與底面 ABCD 所成二面角的大小； （ 3）求點(diǎn) A到平面 MCN 的距離． 【考點(diǎn)】 與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算． 【分析】 此類題一般有兩種解法，一種是利用空間向量方法來證明，一種是用立體幾何中線面位置關(guān)系進(jìn)行證明，本題提供兩種解法 向量法：對(duì)于（ 1）求證： MQ∥ 平面 PCB，可求出線的方向向量與面的法向量，如果兩者的內(nèi)積為 0 則說明線面平行 對(duì)于（ 2）求截面 MCN與底面 ABCD所成二面角的大小，求出兩個(gè)平面的法向量，然后根據(jù)根據(jù)二面角的正弦與法向量的數(shù)量積的 關(guān)系，求解； 對(duì)于（ 3）求點(diǎn) A到平面 MCN的距離，求出平面上任一點(diǎn)與 A連線所對(duì)應(yīng)的向量，求這個(gè)向量在該平面的法向量上的投影即可，此法求點(diǎn)到面的距離甚為巧妙． 幾何法：（ 1）求證 MQ∥ 平面 PCB，用線面平行的判定定理證明即可； （ 2）求截面 MCN與底面 ABCD所成二面角的大小，先在圖形中作出二面角的平面角，再證明其是二面角的平面角，然后根據(jù)題設(shè)中的條件求出平面角的三角函數(shù)值，一般要在一個(gè)三角形中求解函數(shù)值． （ 3）求點(diǎn) A到平面 MCN 的距離，須先作出點(diǎn) A在面上的垂線段，然后在三角形中求出此線段的長(zhǎng)度即可． 【解 答】 解：法一向量法： 以 A為原點(diǎn)，以 AD， AB， AP 分別為 x， y， z 建立空間直角坐標(biāo)系 O﹣ xyz， 由 ， PA=4PQ=4， M， N 分別是 PD， PB 的中點(diǎn)， 可得：， ∴ ， 設(shè)平面的 PBC 的法向量為 ， 則有： 令 z=1，則 ， ∴ ， 又 MQ?平面 PCB， ∴ MQ∥ 平面 PCB； （ 2）設(shè)平面的 MCN 的法向量為 ，又 則有： 令 z=1，則 ， 又 為平面 ABCD 的法向量， ∴ ，又截面 MCN與底面 ABCD 所成二面角為銳二面角， ∴ 截面 MCN 與底面 ABCD 所成二面角的大小為 ， （ 3） ∵ ， ∴ 所求的距 離； 法二，幾何法： （ 1）取 AP 的中點(diǎn) E，連接 ED，則 ED∥ CN，依題有 Q 為 EP 的中點(diǎn)，所以 MQ∥ ED，所以 MQ∥ CN， 又 MQ?平面 PCB， CN?平面 PCB， ∴ MQ∥ 平面 PCB （ 2）易證：平面 MEN∥ 底面 ABCD，所以截面 MCN 與平面 MEN 所成的二面角即為平面MCN 與底面 ABCD 所成的二面角， 因?yàn)?PA⊥ 平面 ABCD，所以 PA⊥ 平面 MEN，過 E 做 EF⊥ MN，垂足為 F，連接 QF， 則由三垂線定理可知 QF⊥ MN， 由（ 1）可知 M， C， N， Q 四點(diǎn)共面所以 ∠ QFE 為截面 MCN 與平面 MEN 所成的二面角的平面角 ， ， 所以： ， 所以： ； （ 3）因?yàn)?EP 的中點(diǎn)為 Q，且平面 MCN 與 PA 交于點(diǎn) Q，所以點(diǎn) A到平面 MCN的距離是點(diǎn) E 到平面 MCN 的距離的 3 倍， 由（ 2）知： MN⊥ 平面 QEF，則平面 MCNQ⊥ 平面 QEF 且交線為 QF，作 EH⊥ QF，垂足為 H，則 EH⊥ 平面 MCNQ，故 EH 即為點(diǎn) E 到平面 MCN 的距離． ． 20．已知正項(xiàng)等比數(shù)列 {an}（ n∈ N*），首項(xiàng) a1=3，前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 S3+a S5+a S4+a4成等差數(shù)列． （ 1）求數(shù)列
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