吉林省遼源市20xx-20xx學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷含解析(參考版)
2024-11-19 06:24本頁面
【正文】 是解題的關(guān)鍵． 14．已知點 P， Q為圓 C： x2+y2=25上的任意兩點，且 |PQ|＜ 6，若 PQ中點組成的區(qū)域為 M，在圓 C內(nèi)任取一點，則該點落在區(qū)域 M上的概率為 ． 【分析】 根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求出平面區(qū)域 M的圖形，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論． 【解答】 解：當(dāng) |PQ|=6時，圓心到線段 PQ的距離 d= =4． 此時 M位于半徑是 4的圓上， ∴ |PQ|＜ 6， ∴ PQ中點組成的區(qū)域為 M為半徑為 4的圓與半徑為 5的圓組成的圓環(huán)，即 16＜ x2+y2＜ 25， PQ中點組成的區(qū)域為 M如圖所示， 那么在 C內(nèi)部任取一點落在 M內(nèi)的概率為 = ， 故答案為： ． 【點評】 本題主要考查幾何概型的概率計算，根據(jù)條件求出相應(yīng)的區(qū)域及其面積是解決本題的關(guān)鍵． 15．已知某一段公路限速 60公里 /小時，現(xiàn)抽取 200輛通過這一段公路的汽車的時速，其頻率分布直方圖如圖所示，則這 200輛汽車中在該路段沒有超速的有 80 輛． 【分析】 根據(jù)頻率分布直方圖，得在該路段沒有超速的汽車數(shù)量的 頻率，即可求出這 200輛汽車中在該路段沒有超速的數(shù)量． 【解答】 解：根據(jù)頻率分布直方圖，得 在該路段沒有超速的汽車數(shù)量的頻率為 （ +） 10=， ∴ 這 200輛汽車中在該路段沒有超速的數(shù)量為 200 =80． 故答案為： 80． 【點評】 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)會識圖，用圖，是基礎(chǔ)題． 16．已知圓 O： x2+y2=1，點 M（ x0， y0）是直線 x﹣ y+2=0上一點，若圓 O上存在一點 N，使得 ，則 x0的取值范圍 是 [﹣ 2， 0] ． 【分析】 過 M作 ⊙ O切線交 ⊙ C于 R，則 ∠ OMR≥∠ OMN，由題意可得 ∠ OMR≥ ， |OM|≤ 2．再根據(jù) M（ x0， 2+x0）， |OM|2=x02+y02=2x02 +4x0+4，求得 x0的取值范圍． 【解答】 解：過 M作 ⊙ O切線交 ⊙ C于 R，根據(jù)圓的切線性質(zhì)， 有 ∠ OMR≥∠ OMN． 反過來，如果 ∠ OMR≥ ，則 ⊙ O上存在一點 N使得 ∠ OMN= ． ∴ 若圓 O上存在點 N，使 ∠ OMN= ，則 ∠ OMR≥ ． ∵ |OR|=1， OR⊥ MR， ∴ |OM|≤ 2． 又 ∵ M（ x0， 2+x0）， |OM|2=x02+y02=x02+（ 2+x0） 2=2x02 +4x0+4， ∴ 2x02+4x0+4≤ 4，解得，﹣ 2≤ x0≤ 0． ∴ x0的取值范圍是 [﹣ 2， 0]， 故答案為： [﹣ 2， 0]． 【點評】 本題主 要考查了直線與圓相切時切線的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，綜合考察了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，屬于中檔題． 三、解答題 17．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年 100 位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照 [0，）， [， 1）， ? [4， ]分成 9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． （ I）求直方圖中的 a值； （ II）設(shè)該市有 30萬居民，估計全市居民中月均用水 量不低于 3噸的人數(shù)．說明理由； （ Ⅲ ）估計居民月均用水量的中位數(shù)． 【分析】 （ I）先根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標(biāo)乘以組距求出 9個矩形的面積即頻率，再根據(jù)直方圖的總頻率為 1求出 a的值； （ II）根據(jù)已知中的頻率分布直方圖先求出月均用水量不低于 3噸的頻率，結(jié)合樣本容量為30萬，進而得解． （ Ⅲ ）根據(jù)頻率分布直方圖，求出使直方圖中左右兩邊頻率相等對應(yīng)的橫坐標(biāo)的值． 【解答】 解：（ I） ∵ 1=（ ++a+++a+++） ，整理可得：2=+2a， ∴ 解得： a=． （ II）估計全市居民中月均用水量不低于 3噸的人數(shù)為 ，理由如下： 由已知中的頻率分布直方圖可得月均用水量不低于 3 噸的頻率為（ ++） =， 又樣本容量 =30萬， 則樣本中月均用水量不低于 3噸的戶數(shù)為 30 =． （ Ⅲ ）根據(jù)頻率分布直方圖，得； + + + =＜ ， + =＞ ， ∴ 中位數(shù)應(yīng)在（ 2， ]組內(nèi)，設(shè)出未知數(shù) x， 令 + + + + x=， 解得 x=； ∴ 中位數(shù)是 2+=． 【點評】 本題用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法．頻率分布直方圖中小長方形的面積 =組距 ，各個矩形面積之和等于 1，能根據(jù)直方圖求眾數(shù)和中位數(shù)，屬于常規(guī)題型． 18．已知空間直角坐標(biāo)系 O﹣ xyz中的點 A（ 1， 1， 1），平面 α 過點 A 且與直線 OA 垂直，動點 P（ x， y， z）是平面 α 內(nèi)的任一點． （ 1）求點 P的坐標(biāo)滿足的條件； （ 2）求平面 α 與坐標(biāo)平面圍成的幾何體的體積． 【分析】 （ 1）通過平面 α 過點 A且與直線 OA垂直，利用勾股定理即可求點 P的坐標(biāo)滿足的條件； （ 2）求出平面 α 與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，即可利用棱錐的體積公式求出所求幾何體體積． 【解答】 解：（ 1）因為 OA⊥ α ，所以 OA⊥ AP， 由勾股定理可得： |OA|2+|AP|2=|OP|2， 即 3+（ x﹣ 1） 2+（ y﹣ 1） 2+（ z﹣ 1） 2=x2+y2+z2，化簡得： x+y+z=3． （ 2）設(shè)平面 α 與 x軸、 y軸、 z軸的點分別為 M、 N、 H， 則 M（ 3， 0， 0）、 N（ 0， 3， 0）、 H（ 0， 0， 3）． 所以 |MN|=|NH|=|MH|=3 ， 所以等邊三角形 MNH的面積為： = ． 又 |OA|= ，故三棱錐 0﹣ MNH的體積為： = ． 【點 評】 本題考查空間想象能力，計算能力，轉(zhuǎn)化思想，空間兩點距離公式的應(yīng)用． 19．已知曲線 C： x2+y2﹣ 2x﹣ 4y+m=0， O為坐標(biāo)原點 （ Ⅰ ）當(dāng) m為何值時，曲線 C表示圓； （ Ⅱ ）若曲線 C與直線 x+2y﹣ 3=0交于 M、 N兩點，且 OM⊥ ON，求 m的值． 【分析】 （ Ⅰ ）根據(jù)曲線方程滿足圓的條件求出 m的范圍即可； （ Ⅱ ）設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2），由題意 OM⊥ ON，得到 ? =0，利用平面向量 數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，聯(lián)立直線與圓方程組成方程組，消去 x得到關(guān)于 y的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個交點，得到根的判別式大于 0，求出 m 的范圍，利用韋達定理求出 y1+y2與 y1y2，由點 M（ x1， y1）， N（ x2， y2）在直線 x+2y﹣ 3=0上，表示出 x1與 x2，代入得出的關(guān) 系式中，整理即可確定 m的值． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由題意可知： D2+E2﹣ 4F=（﹣ 2） 2+（﹣ 4） 2﹣ 4m=20﹣
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