【正文】 月均用水量不低于 3噸的人數(shù)為 ，理由如下： 由已知中的頻率分布直方圖可得月均用水量不低于 3 噸的頻率為（ ++） =， 又樣本容量 =30萬， 則樣本中月均用水量不低于 3噸的戶數(shù)為 30 =． （ Ⅲ ）根據(jù)頻率分布直方圖，得； + + + =＜ ， + =＞ ， ∴ 中位數(shù)應在（ 2， ]組內(nèi)，設(shè)出未知數(shù) x， 令 + + + + x=， 解得 x=； ∴ 中位數(shù)是 2+=． 【點評】 本題用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法．頻率分布直方圖中小長方形的面積 =組距 ，各個矩形面積之和等于 1，能根據(jù)直方圖求眾數(shù)和中位數(shù)，屬于常規(guī)題型． 18．已知空間直角坐標系 O﹣ xyz中的點 A（ 1， 1， 1），平面 α 過點 A 且與直線 OA 垂直，動點 P（ x， y， z）是平面 α 內(nèi)的任一點． （ 1）求點 P的坐標滿足的條件； （ 2）求平面 α 與坐標平面圍成的幾何體的體積． 【分析】 （ 1）通過平面 α 過點 A且與直線 OA垂直，利用勾股定理即可求點 P的坐標滿足的條件； （ 2）求出平面 α 與坐標軸的交點坐標，即可利用棱錐的體積公式求出所求幾何體體積． 【解答】 解：（ 1）因為 OA⊥ α ，所以 OA⊥ AP， 由勾股定理可得： |OA|2+|AP|2=|OP|2， 即 3+（ x﹣ 1） 2+（ y﹣ 1） 2+（ z﹣ 1） 2=x2+y2+z2，化簡得： x+y+z=3． （ 2）設(shè)平面 α 與 x軸、 y軸、 z軸的點分別為 M、 N、 H， 則 M（ 3， 0， 0）、 N（ 0， 3， 0）、 H（ 0， 0， 3）． 所以 |MN|=|NH|=|MH|=3 ， 所以等邊三角形 MNH的面積為： = ． 又 |OA|= ，故三棱錐 0﹣ MNH的體積為： = ． 【點 評】 本題考查空間想象能力，計算能力，轉(zhuǎn)化思想，空間兩點距離公式的應用． 19．已知曲線 C： x2+y2﹣ 2x﹣ 4y+m=0， O為坐標原點 （ Ⅰ ）當 m為何值時，曲線 C表示圓； （ Ⅱ ）若曲線 C與直線 x+2y﹣ 3=0交于 M、 N兩點，且 OM⊥ ON，求 m的值． 【分析】 （ Ⅰ ）根據(jù)曲線方程滿足圓的條件求出 m的范圍即可； （ Ⅱ ）設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2），由題意 OM⊥ ON，得到 ? =0，利用平面向量 數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，聯(lián)立直線與圓方程組成方程組，消去 x得到關(guān)于 y的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個交點，得到根的判別式大于 0，求出 m 的范圍，利用韋達定理求出 y1+y2與 y1y2，由點 M（ x1， y1）， N（ x2， y2）在直線 x+2y﹣ 3=0上，表示出 x1與 x2，代入得出的關(guān) 系式中，整理即可確定 m的值． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由題意可知： D2+E2﹣ 4F=（﹣ 2） 2+（﹣ 4） 2﹣ 4m=20﹣ 4m＞ 0， 解得： m＜ 5； （ Ⅱ ）設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， 由題意 OM⊥ ON，得到 ? =0，即 x1x2+y1y2=0① ， 聯(lián)立直線方程和圓的方程： ， 消去 x得到關(guān)于 y的一元二次方程： 5y2﹣ 12y+3+m=0， ∵ 直線與圓有兩個交點， ∴△ =b2﹣ 4ac=122﹣ 4 5 m＞ 0，即 m+3＜ ，即 m＜ ， 又由（ Ⅰ ） m＜ 5， ∴ m＜ ， 由韋達定理： y1+y2= ， y1y2= ② ， 又點 M（ x1， y1）， N（ x2， y2）在直線 x+2y﹣ 3=0上， ∴ x1=3﹣ 2y1， x2=3﹣ 2y2， 代入 ① 式得 ：（ 3﹣ 2y1）（ 3﹣ 2y2） +y1y2=0， 即 5y1y2﹣ 6（ y1+y2） +9=0， 將 ② 式代入上式得到： 3+m﹣ +9=0， 解得： m= ＜ ， 則 m= ． 【點評】 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：根的判別式，直線與圓的交點，韋達定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及二元二次方程成為圓的條件，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵． 20．已知圓 M 的圓心為 M（﹣ 1， 2），直線 y=x+4被圓 M截得的弦長為 ，點 P在直線 l：y=x﹣ 1上． （ 1）求圓 M的標準方程； （ 2）設(shè)點 Q在圓 M上，且滿足 =4 ，求點 P的坐標． 【分析】 （ 1）求出 M（﹣ 1， 2）到直線 y=x+4的距離，利用直線 y=x+4被圓 M截得的弦長為，求出半徑，即可求圓 M的標準方程； （ 2）設(shè)點 Q在圓 M上，且滿足 =4 ，求出 P的軌跡方程與直線 y=x﹣ 1聯(lián)立，即可求點P的坐標． 【解答】 解：（ 1） M（﹣ 1， 2）到直線 y=x+4的距離為 d= = ， ? 又直線 y=x+4被圓 M截得的弦長為 ， 所以圓 M的半徑為 r=1， ? ∴ 圓 M的標準方程為（ x+1） 2+（ y﹣ 2） 2=1． ? （ 2）由 =4 ，得 | |=4| |=4， 所以點 P在圓（ x+1） 2+（ y﹣ 2） 2=16上， ? 又點 P在直線 y=x﹣ 1上，聯(lián)立解得 或 ， 即點 P的坐標為（﹣ 1，﹣ 2）或（ 3， 2）． ? 【點評】 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 21．在空間直角坐標系中，已知 A（ 3， 0， 1）和 B（ 1， 0，﹣ 3），試問 （ 1）在 y軸上是否存在點 M，滿足 |MA|=|MB|？ （ 2）在 y軸上是否存在點 M，使 △ MAB為等邊三角形？若存在，試求出點 M坐標． 【分析】 （ 1）若能求出 y軸上點 M 滿足 |MA|=|MB|，則問題得到解決，故可先假設(shè)存在，設(shè)出點 M（ 0， y， 0），由 |MA|=|MB|，建立關(guān)于參數(shù) y的方程，求 y，若 y值存在，則說明假設(shè)成立，在 y軸上 存在點 M，滿足 |MA|=|MB|，否則說明不存在． （ 2）由（ 1）知， △ MAB為等腰三角形，若能證明 |MA|=|AB|則可以說明存在點 M，使 △ MAB為等邊三角形，故可令 |MA|=|AB|建立方程求 y，若 y 值存在，則說明存在，否則說明不存在． 【解答】 解：（ 1）假設(shè)在 y軸上存在點 M，滿足 |MA|=|MB|． 因 M在 y軸上，可設(shè) M（ 0， y， 0），由 |MA|=|MB|， 可得 ， 顯然，此式對任意 y∈ R恒成立． 這就是說 y軸上所有點都滿足關(guān)系 |MA|=|MB|． 所以存在無數(shù)點 M，滿足 |MA|=|MB|． （ 2）假設(shè)在 y軸上存在點 M，使 △ MAB為等邊三角形． 由 （ 1）可知， y軸上任一點都有 |MA|=|MB|， 所以只要 |MA|=|AB|就可以使得 △ MAB是等邊三角形． 因為 |MA|= 于是 ，解得