高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章2綜合法和分析法課時(shí)作業(yè)(參考版)
2024-12-09 06:27本頁(yè)面
【正文】 12＋ b22≤22 (a2＋ 12＋b22)＝3 24 (當(dāng)且僅當(dāng) a2＝ 12＋b22且 a2＋ b22＝ 1即 a＝32 ， b＝22 時(shí)取 “ ＝ ”) 三、解答題 7．分別用分析法、綜合法證明： (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥( ac＋ bd)2. [證明 ] 證法一： (分析法 )要證 (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥( ac＋ bd)2， 只需證 a2c2＋ b2c2＋ a2d2＋ b2d2≥ a2c2＋ 2abcd＋ b2d2， 即證 b2c2＋ a2d2≥2 abcd， 只需證 (bc－ ad)2≥0. 因?yàn)?(bc－ ad)2≥0 顯然成立， 所以 (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥( ac＋ bd)2成立． 證法二： (綜合法 )因?yàn)?b2c2＋ a2d2≥2 abcd(當(dāng)且僅當(dāng) bc＝ ad時(shí)取等號(hào) )， 所以 a2c2＋ b2c2＋ a2d2＋ b2d2≥ a2c2＋ 2abcd＋ b2d2， 即 (a2＋ b2)(c2＋ d2)≥( ac＋ bd)2. 8．已知 x0， y0， x＋ y＝ 1，求證： (1＋ 1x)(1＋ 1y)≥9. [分析 ] 觀察要證明的不等式，可以由條件入手，將 x＋ y＝ 1代入要 證明的不等式，用綜合法可證；也可從基本不等式入手，用綜合法證明不等式． [證明 ] 證法一： ∵ x＋ y＝ 1， ∴ (1＋ 1x)(1＋ 1y)＝ (1＋ x＋ yx )(1＋ x＋ yy )＝ (2＋ yx)(2＋ xy) ＝ 5＋ 2(yx＋ xy)． 又 ∵ x0， y0， ∴ yx0， xy0. ∴ yx＋ xy≥2 ， 當(dāng)且僅當(dāng) yx＝ xy，即 x＝ y＝ 12時(shí)取等號(hào)． 則有 (1＋ 1x)(1＋ 1y)≥5 ＋ 22 ＝ 9成立． 證法二： ∵ x0， y0,1＝ x＋ y≥2 xy，當(dāng)且僅當(dāng) x＝ y＝ 12時(shí)等號(hào)成立， ∴ xy≤ 14.∴ 1xy≥4. 則有 (1＋ 1x)(1＋ 1y)
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