高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步單元同步測試含解析北師大版必修2(參考版)
2024-12-08 23:46本頁面
【正文】 A′ O＝ 134 3＝ 4 33 . 21． (13分 )如圖所示，已知正方體 ABCD— A1B1C1D1， O是底面 ABCD對角線的交點． (1)求證： C1O∥ 平面 AB1D1； (2)求證： A1C⊥ 平面 AB1D1； (3)若 AA1＝ 2，求三棱錐 A1— AB1D1的體積． 解 (1)證明：設(shè) B1D1的中點為 O1， ∵ ABCD— A1B1C1D1為正方體， ∴ C1O1綊 AO. 故 AOC1O1為平行四邊形． ∴ AO1∥ C1O，又 AO1 面 AB1D1， C1O 面 AB1D1， ∴ C1O∥ 面 AB1D1. (2)證明： ∵ B1D1⊥ A1C1， B1D1⊥ CC1， A1C1∩ C1C＝ C1. ∴ B1D1⊥ 面 ACC1A1， A1C 面 ACC1A1.∴ B1D1⊥ A1C. 同理可證 A1C⊥ AB1. 又 AB1∩ B1D1＝ B1， ∴ A1C⊥ 面 AB1D1. (3)VA1— AB1D1＝ VA— A1B1D1＝ 13 12222 ＝ 43. 。 ， ∴ PA＝ AD， ∴ AG⊥ PD. 又 CD⊥ AD， CD⊥ PA，且 PA∩ AD＝ A， ∴ CD⊥ 面 PAD， CD⊥ AG，又 PD∩ CD＝ D， ∴ AG⊥ 面 PCD. 由 (1)知 EF∥ AG， ∴ EF⊥ 面 PCD，又 EF 面 PCE， ∴ 面 PCE⊥ 面 PCD. 20． (13 分 )如圖 ① ， △ ABC 是等腰直角三角形， AC＝ BC＝ 4， E， F 分別為 AC， AB的中點，將 △ AEF沿 EF折起，使 A′ 在平面 BCEF上的射影 O恰為 EC的中點，得到圖 ② . (1)求證： EF⊥ A′ C； (2)求三棱錐 F— A′ BC的體積． 解 (1)證法 1：在 △ ABC中， EF是等腰直角 △ ABC的中位線，在四棱錐 A′ — BCEF中，EF⊥ A′ E， EF⊥ EC， ∴ EF⊥ 平面 A′ EC，又 A′ C 平面 A′ EC， ∴ EF⊥ A′ C. 證法 2：同證法 1 EF⊥ EC， ∴ A′ O⊥ EF， ∴ EF⊥ 平面 A′ EC. 又 A′ C 平面 A′ EC， ∴ EF⊥ A′ C. (2)在直角梯形 EFBC中， EC＝ 2， BC＝ 4， ∴ S△ FBC＝ 12BC ，故 △ AA1B為等邊三角形，所以 OA1⊥ AB. 因為 OC∩ OA
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