【正文】 2 板有限元模型 這部分主要給出了用于建立平板模型的不同試驗(yàn)方程，以及不依賴試驗(yàn)方程的廣義的有限元模型。另一方面，譜有限元法僅僅適用于分析 Levytype 平板 。本文介紹了譜有限元模型的另一個(gè)應(yīng)用。與傳 統(tǒng)有限元相比，譜有限元法有這更高的準(zhǔn)確度，尤其是在單元數(shù)目比較少的情況下 作為用譜有限元法對(duì)平板進(jìn)行分析的嘗試，李 [18]首次用譜有限元分析了具有兩個(gè)簡單支撐相對(duì)面的 Levytype 平板，計(jì)算結(jié)果證實(shí)了譜有限元法比傳統(tǒng)有限元法具有更高的精確度。李 [13]、基姆 [14]和巴薩 [15]進(jìn)行有阻尼的主動(dòng)控制梁和桿的譜有限元分析，譜分析的優(yōu)點(diǎn)在于不需要額外的自由度，勾勒休斯[16]所研究的粘彈性材料則需要有額外的自由度。與此同時(shí)，克瑞克 [12]建立了譜有限元裂紋梁模型，并研究了其裂紋的性質(zhì)。同時(shí)李 [9]也用譜有限元法研究了周期性變化梁的力學(xué)性質(zhì)。 譜有限元法也可以建立非線性模型。馬哈帕等人 [6]認(rèn)為譜有限元法適用于求解組合梁。 丁文文：預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤模態(tài)的影響分析 40 譜分析用來求解不同振動(dòng)類型結(jié)構(gòu)的近似解 [5]。 蘭利 [3]認(rèn)為動(dòng)力剛度矩陣方法主要用來分析飛機(jī)面板的自由和強(qiáng)迫振動(dòng)，后來 [4]他 將該法 與邊界元法 相結(jié)合 研究飛機(jī)機(jī)身的聲輻射 。因此為了能更精確地進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析 ，對(duì)于傳統(tǒng)有限元方法就需要很細(xì)地劃分。與傳統(tǒng)有限元方法相比它能夠更精確地進(jìn)行動(dòng)力學(xué)求解。本文用 Mathematica○ R 建立模型以避免以數(shù)值積分形式得到單元的矩陣形式所造成的誤差，并將結(jié)果與 MATLAB 。目的是得出每種模型各自的優(yōu)點(diǎn)和弱點(diǎn)，并進(jìn)行綜合。 本文主要是將這些模型進(jìn)行對(duì)比分析。 到現(xiàn)在已經(jīng)有了多種模型 ，包括 經(jīng) 典多項(xiàng)式 單元 ，層次有限元模型， 以及最近出現(xiàn)的 譜有限元模型。 我還要感謝我寢室的同學(xué)，她們在我感到挫折時(shí)支持我，鼓勵(lì)我，讓我有戰(zhàn)勝挫折的勇氣和毅力。這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度是我永遠(yuǎn)學(xué)習(xí)的榜樣。特別是論文修改時(shí)，蘇老師將我所做的論文一字一句地做了修改。 遼寧工程技 術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 37 致謝 在我的論文完成之際，我首先要感謝我的導(dǎo)師蘇榮華老師。利用 ANSYS 軟件，直接求出輪盤在靜 止?fàn)?態(tài)和 不同轉(zhuǎn)速 旋轉(zhuǎn)狀 態(tài)下整體結(jié)構(gòu)的固有頻率、振型，并給出振型的彩色云圖和動(dòng)畫顯示；通過 對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤固有頻率和振型的分析，結(jié)果表明在考慮預(yù)應(yīng)力的條件下，輪盤的固有頻率比無預(yù)應(yīng)力時(shí)大； 隨著轉(zhuǎn)速的增大，預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤振動(dòng)特性的影響也越來越大。 2） 本文首先分析了輪盤在相對(duì)穩(wěn)定的離心力載荷的作用下的靜應(yīng)力及位移的問題，從分析結(jié)果中可以看出離心力引起的預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤的影響是比較大的。 渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)常見的輪盤故 障之一就是輪盤由于共振而產(chǎn)生開裂破壞，因此掌握高速旋轉(zhuǎn)輪盤運(yùn)轉(zhuǎn)工況各種轉(zhuǎn)速下的動(dòng)力特性，對(duì)于了解不平衡振動(dòng)響應(yīng)以及可能出現(xiàn)的不穩(wěn)定性等均有實(shí)際意義。 表 42 輪盤前五階固有頻率 the first five orders natural frequency of turbodisk 從表 42 中可以看出， 由于預(yù)應(yīng)力的影響，旋轉(zhuǎn)輪盤的動(dòng)態(tài)固有 頻率高于靜止?fàn)顟B(tài)下固有頻率， 這是由于輪盤在離心力作用下的應(yīng)力為拉應(yīng)力，提高了輪盤的剛度； 隨著轉(zhuǎn)速的升高，輪盤的各階固有頻率也不斷升高， 這是由于離心力作為預(yù)應(yīng)力的剛化作用；特別是 一階 固有頻率，與靜止時(shí)相比 ， 隨著轉(zhuǎn)速的增大，其 頻率增大的速度也越來越快，當(dāng)速度達(dá)到 24000 r/min 時(shí)，輪盤一階固有頻率 提高了 % ，高于三階處的 % 及四五階處的 % ；因此在設(shè)計(jì)輪盤旋轉(zhuǎn)速度時(shí)，應(yīng)考慮考慮預(yù)應(yīng)力的影響，合理設(shè)計(jì)輪盤的工作轉(zhuǎn)速，以避免發(fā)生共振現(xiàn)象而使輪盤發(fā)生破壞。 通過輪盤不同轉(zhuǎn)速下的各階振型圖還可以看出隨著輪盤轉(zhuǎn)速的增加，輪盤的變形程度越來越??；最大變形發(fā)生在輪盤最外緣處，產(chǎn)生裂紋或斷裂應(yīng)該是在輪盤外緣處，這與實(shí)際產(chǎn)生裂紋位置剛好符合。 預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤振型的影響分析 圖 42至圖 48給出了輪盤在靜止?fàn)顟B(tài)和轉(zhuǎn)速分別為 9000r/min、 12021 r/min、 15000 r/min、 18000 r/min、 21000 r/min、 24000r/min 時(shí)輪盤的 前五階振動(dòng)模態(tài)圖。 表 41 輪盤前五階固有頻率及相對(duì)誤差 the first five orders natural frequency and relative error of turbodisk 轉(zhuǎn)速 一階 二階 相對(duì) 三階 相對(duì) 四階 五階 相對(duì) 1min??r 頻率 /Hz 頻率 /Hz 誤差 /% 頻率 / Hz 誤差 /% 頻率 / Hz 頻率 / Hz 誤差 /% 0 3000 6000 9000 12021 15000 18000 21000 24000 丁文文：預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤模態(tài)的影響分析 22 從左向右三條曲線依次為一、二階；三階；四、五階固有頻率誤差曲線 圖 41 相對(duì)誤差曲線圖 The curve of relative error 從表 41 和圖 41 可以看出其 2 階 固有 頻率相等， 5 階 固有 頻率相 等，這是由于輪盤是對(duì)稱結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，存在有重根現(xiàn)象。 預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤模態(tài)的影響分析 預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn) 輪盤固有頻率的影響分析 表 41 給出了輪 盤 前五階的計(jì)算結(jié)果。 遼寧工程技 術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 21 4 預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤模態(tài)的影響分析 振動(dòng)現(xiàn)象 是機(jī)械結(jié)構(gòu)經(jīng)常需要面對(duì)的問題之一，由于振動(dòng)會(huì)造成結(jié)構(gòu)的共振或疲勞從而破壞結(jié)構(gòu)，所以必須了解結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，避免在實(shí)際工況中因共振因素造成結(jié)構(gòu)的損壞，對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行精確的模態(tài)分析將為評(píng)價(jià)現(xiàn)有結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性、診斷及預(yù)報(bào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的故障、新產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)性能的預(yù)估及優(yōu)化設(shè)計(jì)提供科學(xué)的依據(jù)。 圖 37 節(jié)點(diǎn)應(yīng)力云圖 Von mises stress of node 遼寧工程技 術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 圖 38 局部節(jié)點(diǎn)應(yīng)力云圖 Von mises stress of partial node 由圖 37 和 38 可以知道，在有預(yù)應(yīng)力時(shí)整體單元節(jié)點(diǎn) 4xd? 的最大值為 MPa,最小值為 MPa；最大值和最小值區(qū)域都分布在距旋轉(zhuǎn)軸較近的區(qū)域； 4xd? 的最大值雖然小于輪盤材料額定強(qiáng)度極限 833 MPa，但由于本文僅僅考慮的是預(yù)應(yīng)力，其它的外載荷都沒考慮，因此可以看出預(yù)應(yīng)力對(duì)旋轉(zhuǎn)輪盤節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值的影響也是比較大的。輪盤的最大應(yīng)力值為 ，最小值為 MPa； 輪盤材料為 34CrNi3Mo,其屈服 極限 s? = 833 MPa。 圖 34 應(yīng)力矢量圖 Principal Stress vector 圖 35 局部應(yīng)力云圖 Von mises stress of partial element 丁文文：預(yù)應(yīng)力對(duì)高速旋轉(zhuǎn)輪盤模態(tài)的影響分析 18 圖 36 應(yīng)力云圖 Von mises stress 圖 35 是從整個(gè)輪盤中選取的轉(zhuǎn)角 為 6rad 的一個(gè)局部單元。 圖 34 至 圖 38 顯示的是 Von Mises 應(yīng)力，也就是所謂的第四強(qiáng)度等效應(yīng)力 [18] ? ?2322312214 )()()(21 ??????? ??????xd 遼寧工程技 術(shù)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 17 對(duì)鋼等塑性材料的強(qiáng)度校核一般采用第三和第四強(qiáng)度理論，劉鴻文 [19]認(rèn)為第四強(qiáng)度理論比第三強(qiáng)度理論更接近試驗(yàn)結(jié)果。 高速旋轉(zhuǎn)輪盤有限元模型建立 針對(duì)輪盤材料的特點(diǎn)及其幾何特征，運(yùn)用 ANSYS 的 MESHING 功能，按映射網(wǎng)格劃分的方式進(jìn)行劃分，然后對(duì)面單元先后進(jìn)行延伸操作、旋轉(zhuǎn)操作生成具有 5904 個(gè)節(jié)點(diǎn)，3888 個(gè)單元的完整實(shí)體和 1/2 半圓 形塊 輪盤，所建立的單元模型見圖 33。這種約束條件在直角 坐標(biāo)系下無法定義，而在柱坐標(biāo)下可以非常方便地定義。 本文針對(duì)輪盤材料的特點(diǎn)及其幾何特征，運(yùn)用 ANSYS 的 MESHING 功能，按映射網(wǎng)格劃分的方式對(duì)輪盤進(jìn)行了劃分。如果面由三角形網(wǎng)格組成，體將生成楔形單元。 利用體 掃掠，可將體的一個(gè)邊界面網(wǎng)格 （ 成為源面 ） 掃掠貫穿整個(gè)體，同時(shí)在掃掠過程中根據(jù)源面網(wǎng)格對(duì)體劃分網(wǎng)格，生成單元和節(jié)點(diǎn)。對(duì)體進(jìn)行自由網(wǎng)格劃分，一般指定網(wǎng)格為四面體單元，六面體單元作為過渡也可以加入到四面體網(wǎng)格中。 ANSYS 程序的自由網(wǎng)格劃分功能十分強(qiáng)大，這種網(wǎng)格劃分方法沒有單元形狀的限 制，網(wǎng)格也不遵循任何的模式，因此適合于對(duì)復(fù)雜形狀的面和體 網(wǎng)格劃分，這就避免了用戶對(duì)模型各個(gè)部分分別劃分網(wǎng)格后進(jìn)行組裝時(shí)各個(gè)部分網(wǎng)格不匹配帶來的麻煩。而且所劃分的網(wǎng)格形式對(duì)計(jì)算精度和計(jì)算規(guī)模將產(chǎn)生直接影響。 單元形函數(shù)： )1)(1)(1(81),( ????????? iiiiN ???? （ 1,2, 8i? ） （ 31） 坐標(biāo)間轉(zhuǎn)換關(guān)系： 局部坐標(biāo)到整體坐標(biāo)間的坐標(biāo)變換為 : 818181( , , )( , , )( , , )iiiiiiiiix N xy N yz N z? ? ?? ? ?? ? ??????????????????? （ 32） 其中（ ,i i ix y z ） （ 1,2, 8i? ） 是已給節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)。三維等參八節(jié)點(diǎn)六面體 SOL1045單元主要用于仿真 3D實(shí)體結(jié)構(gòu)。 由于輪盤自重產(chǎn)生的應(yīng)力以及扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的大小，可以忽略不計(jì)，因此可以將輪盤有限元分析作為軸對(duì)稱問題進(jìn)行分析，使分析規(guī)模大大減小。這些工作既是為了作初步的強(qiáng)度分析，也是為輪盤的模態(tài)分析做準(zhǔn)備。 從 以上的仿真計(jì)算結(jié)果可以看出 ,利用 ANSYS 對(duì)機(jī) 械結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析 ,方法簡便計(jì)算快捷 ,得到的振型 形象直觀 ,完全可以滿足模態(tài)分析的需要。 如果想在后處理中觀察到振型 ,就必須先進(jìn)行模態(tài) 擴(kuò)展。該方法最大的優(yōu)點(diǎn)是僅通過矩陣的相乘運(yùn)算即可獲得結(jié)構(gòu)離散化模型較好的假設(shè)模態(tài)矩陣。這是因?yàn)橄喈?dāng)多的約束方程會(huì)占用巨大的波前空間； Block Lanczos 法 也 是 ANSYS 默認(rèn)的求 解方法，它采用Block Lanczos 算法，是用 一組向量來實(shí)現(xiàn)遞 歸的。 本文利用 ANSYS 軟件進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)采用的是 Block Lanczos 法 。此時(shí)，較為有效得解法是子空間迭代法。按照帶寬求解整個(gè)特征系統(tǒng)時(shí)，行列式搜索法會(huì)比吉文斯一豪斯霍爾德法更為有效。 行列式搜索法用來計(jì)算小帶寬大型稀疏矩陣的最小幾階特征值和特征向量是非常有