41圓的方程2(參考版)
2024-12-07 12:43本頁面
【正文】 解 一 ：設(shè) M(x,y)為線段 PQ 的中點(diǎn) ∵ 圓 x2＋ y2＝ 4 的參數(shù)方程是??? ?? ??sin2cos2yx 又 P為圓上一點(diǎn) ∴設(shè) P(2cosθ ,2sinθ )，則 Q(2cosθ ,0) 由線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得點(diǎn) M的軌跡的參數(shù)方 程 ????? ??sincos2yx 消去參數(shù) θ 得： x2/4＋ y2＝ 1 解二：設(shè) M(x,y)為線段 PQ 的中點(diǎn)，則點(diǎn) Q(x,0) 由坐標(biāo)中點(diǎn)公式得 A(x,2y)， 又 P 為圓上任一點(diǎn)， ∴ x2＋ (2y)2＝ 4，即 x2/4＋ y2＝ 1 小結(jié)：解決此類問題，應(yīng)先根據(jù)題意畫出草圖，幫助分析，找出解題途徑。 ⑵ 在本題條件下，若 PA 被圓截得的弦為 PB，點(diǎn) M 為 PB 的中點(diǎn)，求點(diǎn) M 的軌跡方程。 5103051030,55555|| ??????????? ddCO? 歸納總結(jié) 數(shù)學(xué)思想： 數(shù)形結(jié)合 ，等價轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué)方法： 配方法 、 待定系數(shù)法 、 交軌法 、向量法 知識點(diǎn)： 圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、直線與圓的位置關(guān)系 作業(yè) ：創(chuàng)新作業(yè) 3 第 四 課時 圓的 參數(shù) 方程 ●教學(xué)目標(biāo) 1．了解參數(shù)方程的概念； 2．理解圓的參數(shù)方程中 θ 的意義，熟練掌握圓心在原點(diǎn)與不在原點(diǎn)的圓的參數(shù)方程； 3．會把圓的參數(shù)方程與普通方程進(jìn)行互化 . ●教學(xué)重點(diǎn) 圓的參數(shù)方程 ●教學(xué)難點(diǎn) 圓的參數(shù)方程的理解和應(yīng)用 . 設(shè)置情境： 1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程及其應(yīng)用的回顧 . 2．對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行聯(lián)想變形得圓的參數(shù)方程 . Ⅱ . 1．參數(shù)方程與普通方程： 一般地，在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x、 y 都是某個變數(shù) t的函數(shù)，即 ??? ?? )( )(tgy tfx. 并且對于 t 的每一個允許值，由方程組所確定的點(diǎn) M（ x,y）都在這條曲線上，那么方程組就叫這條曲線的參數(shù)方程 .其中 t 叫參變數(shù)，簡稱參數(shù) . 相對于參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系的方程，叫曲線的普通方程 . 說明：參數(shù)方程中的參數(shù)可以有物理、幾何意義，也可以沒有明顯意義 . 2．圓的參數(shù)方程： ①圓心在原點(diǎn)，半徑為 r 的圓的參數(shù)方程：??? ?? ??sincosry rx 推導(dǎo)：設(shè)圓 O 的圓心在原點(diǎn)，半徑是 r,圓 O 與 x 軸的正半軸的交點(diǎn)是 P0（圖 7— 36） 設(shè)點(diǎn)在圓 O 上從點(diǎn) P0開始按逆時針方向運(yùn)動到達(dá)點(diǎn) P，∠ P0OP=θ ，若點(diǎn) P 坐標(biāo)為（ x,y） ,根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得 ???????????sincosryrx 即??? ?? ??sincosry rx ②圓心為 (a,b)，半徑為 r 的圓的參數(shù)方程： ??? ?? ?? ??sincosrby rax （ θ 為參數(shù)） 推導(dǎo)：圓心為 O1（ a,b）、半徑為 r 的圓可以看成由圓心為原點(diǎn) O、半徑為 r 的圓按向量 v? =（ a,b）平移得到 . 即對于圓 O 上任意一點(diǎn) P1（ x1,y1） ,在圓 O1 上必有一點(diǎn) P（ x,y），使 vOOPP ?? 11 因為 PPOPOP 11 ?? ，即（ x,y） =(x1， y1)+（ a,b） 所以??? ???? byy axx11 ，由于點(diǎn) P1（ x1,y1）在以原點(diǎn)為圓心， r 為半徑的圓上，所以存在參數(shù) θ ，使 ??? ?? ??sincos11 ry rx 所以 ??? ?? ?? ??sincosrby rax . 3．圓的參數(shù)方程化普通方程： 方程組??? ?? ?? ??sincosrby rax 由①得 x－ a=rcosθ ③ 由②得 y－ b=rsinθ ④ ③ 2+④ 2得：（ x－ a） 2+(y－ b)2=r2 即圓的普通方程 。 分析： 由 x2＋ y2＋ 2x＋ 4y－ 20＝ 0得 (x＋ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 25，知圓心 C(― 1,― 2)，半徑r＝ 5 ⑴設(shè) t＝ x＋ y，則所求轉(zhuǎn)化直線 l： y＝－ x＋ t與圓 C： (x＋ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 25有交點(diǎn)，求 t 的取值范圍 從 而 有 ： 52 |21| ???? t， 解 之 得 ： 253253 ?????? t ，即253253 ??????? yx ⑵設(shè) 00???xyk ，則所求轉(zhuǎn)化圓 C： (x＋ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 25 上任一點(diǎn) P(x,y)與原點(diǎn)連線的斜率的取值范圍。 例 2 如果直線 l將圓 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝ 0 平分，且不通過第四象限，那么 l的斜率的取值范圍是（ ） A、［ 0,2］ B、［ 0,1］ C、［ 0， 1/2］ D、（ 0， 1/2］ 分析：圓 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝ 0 的圓心為 C（ 1,2），由 l 將圓 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝ 0 平分知l過點(diǎn) C，結(jié)合圖形知： 0≤ k≤ 2.
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