【正文】 ， ∴ Rt△ ADP∽ Rt△ AOC． 【點評】 本題是二次函數綜合題型，主要利用了二次函數的對稱軸，三角形 的面積二次函數的性質，相似三角形的判定，綜合題，但難度不是很大，（ 2）利用梯形和三角形的面積表示出 △ ADP的面積是解題的關鍵，（ 3）難點在于判斷出點 P為 BD與 y軸的交點． 。 時點 P為 BD與 y軸的交點， ∵ OF=OB=2， ∴ PO為 △ BDF的中位線， ∴ OP= DF=2， ∴ 點 P的坐標為（ 0， 2）， 由勾股定理得， DP= =2 ， AD= AF=4 ， ∴ = =2， 令 x=0，則 y=3， ∴ 點 C的坐標為（ 0， 3）， OC=3， ∴ = =2， ∴ = ， 又 ∵∠ PDA=90176。 ， 由二次函數對稱性， ∠ BDF=∠ ADF=45176。 ，從而求出 ∠ PDA=90176。 時， Rt△ ADP與 Rt△ AOC是否 相似？若相似，求出點 P的坐標；若不相似，說明理由． 【考點】 二次函數綜合題． 【分析】 （ 1）根據二次函數的對稱軸列式求出 b 的值，即可得到拋物線解析式，然后整理成頂點式形式，再寫出頂點坐標即可； （ 2）令 y=0解關于 x的一元二次方程求出點 A、 B的坐標，過點 D作 DE⊥ y軸于 E，然后根據 △ PAD的面積為 S=S 梯形 AOCE﹣ S△ AOP﹣ S△ PDE，列式整理，然后利用一次函數的增減性確定出最小值以及 t值； （ 3）過點 D作 DF⊥ x軸于 F，根據點 A、 D的坐標判斷出 △ ADF是等腰直角三角形，然后求出 ∠ ADF=45176。 ， OA=OD，而 ∠ ADF=∠ ADO+∠ ODF， ∠ AFD=∠ FCD+∠ CDF， ∴∠ ADF=∠ AFD， ∴ AD=AF， 在直角 △ AOD中，根據勾股定理得： AD= = OA， ∴ AF= OA． （ 3）證明：連接 OE． ∵ 點 O是正方形 ABCD的對角線 AC、 BD 的交點． ∴ 點 O是 BD的中點． 又 ∵ 點 E是 BC的中點， ∴ OE是 △ BCD的中位線， ∴ OE∥ CD， OE= CD， ∴△ OFE∽△ CFD． ∴ = = ， ∴ = ． 又 ∵ FG⊥ BC， CD⊥ BC， ∴ FG∥ CD， ∴△ EGF∽△ ECD， ∴ = = ． 在直角 △ FGC中， ∵∠ GCF=45176。=2 ． ∴ CB=CD﹣ BD=2 ﹣ 2 =2（ ﹣ ） ≈ ． ∵ PC=PB﹣ CB≈ 4﹣ =＜ 2， ∴ 貨物 MNQP應挪走． 【點評】 應用問題盡管題型千變萬化，但關鍵是設法化歸為解直角三角形問題，必要時應添加輔助線，構造出直角三角形．在兩個直角三角形有公共直角邊時，先求出公共邊的長是解答此類題的基本思路． 19．（ 10分）（ 2021?荊州）我國中東部地區(qū)霧霾天氣趨于嚴重，環(huán)境治理已刻不容緩．我市某電器商場根據民眾健康需要，代理銷售某種家用 空氣凈化器，其進價是 200 元 /臺．經過市場銷售后發(fā)現：在一個月內，當售價是 400元 /臺時，可售出 200臺，且售價每降低 10元，就可多售出 50臺．若供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價不能低于 300元 /臺，代理銷售商每月要完成不低于 450臺的銷售任務． （ 1）試確定月銷售量 y（臺）與售價 x（元 /臺）之間的函數關系式；并求出自變量 x的取值范圍； （ 2）當售價 x（元 /臺）定為多少時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤 w（元）最大？最大利潤是多少？ 【考點】 二次函數的應用． 【分析】 （ 1）根據題中條件銷售價每降低 10 元 ，月銷售量就可多售出 50 臺，即可列出函數關系式； 根據供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價不能低于 300元 /臺，代理銷售商每月要完成不低于 450臺的銷售即可求出 x的取值． （ 2）用 x表示 y，然后再用 x來表示出 w，根據函數關系式，即可求出最大 w； 【解答】 解：（ 1）根據題中條件銷售價每降低 10元，月銷售量就可多售出 50 臺， 則月銷售量 y（臺）與售價 x（元 /臺）之間的函數關系式： y=200+50 ，化簡得：y=﹣ 5x+2200； 供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價不能低 于 300元 /臺，代理銷售商每月要完成不低于 450臺， 則 ， 解得： 300≤ x≤ 350． ∴ y與 x之間的函數關系式為： y=﹣ 5x+2200（ 300≤ x≤ 350）； （ 2） W=（ x﹣ 200）（﹣ 5x+2200）， 整理得： W=﹣ 5（ x﹣ 320） 2+72021． ∵ x=320在 300≤ x≤ 350內， ∴ 當 x=320時，最大值為 72021， 即售價定為 320元 /臺時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤 w最大，最大利潤是72021元． 【點評】 本題主要考查 對于一次函數的應用和掌握，而且還應用到將函數變形求函數極值的知識． 20．（ 10 分）（ 2021?安順）已知：如圖，在 △ ABC中， BC=AC，以 BC 為直徑的 ⊙ O與邊 AB相交于點 D， DE⊥ AC，垂足為點 E． （ 1）求證：點 D是 AB的中點； （ 2）判斷 DE與 ⊙ O的位置關系，并證明你的結論； （ 3）若 ⊙ O的直徑為 18， cosB= ，求 DE的長． 【考點】 切線的判定與性質；勾股定理；圓周角定理；解直角三 角形． 【分析】 （ 1）連接 CD，由 BC為直徑可知 CD⊥ AB，又 BC=AC，由等腰三角形的底邊 “ 三線合一 ” 證明結論； （ 2）連接 OD，則 OD為 △ ABC的中位線， OD∥ AC，已知 DE⊥ AC，可證 DE⊥ OC，證明結論； （ 3）連接 CD，在 Rt△ BCD中，已知 BC=18， cosB= ，求得 BD=6，則 AD=BD=6，在 Rt△ ADE中，已知 AD=6， cosA=cosB= ，可求 AE，利用勾股定理求 DE． 【解答 】 （ 1）證明：連接 CD， ∵ BC為 ⊙ O的直徑， ∴ CD⊥ AB， 又 ∵ AC=BC， ∴ AD=BD，即點 D是 AB的中點． （ 2）解： DE是 ⊙ O的切線． 證明：連接 OD，則 DO 是 △ ABC的中位線， ∴ DO∥ AC， 又 ∵ DE⊥ AC， ∴ DE⊥ DO即 DE是 ⊙ O的切線； （ 3）解： ∵ AC=BC， ∴∠ B=∠ A， ∴ cosB=cosA= ， ∵ cosB= ， BC=18， ∴ BD=6， ∴ AD=6， ∵ cosA= ， ∴ AE=2， 在 Rt△ AED中， DE= ． 【點評】 本題考查了切線的判定與性質，勾股定理，圓周角定理，解直角三角形的運用，關鍵是作輔助線，將問題轉化為直角三角形，等腰三角形解題． 21．（ 12 分）（ 2021?包頭）如圖，在正方形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，點 E是 BC上的一個動點，連接 DE，交 AC于點 F． （ 1）如圖 ① ，當 時，求 的值； （ 2）如圖 ② 當 DE平分 ∠