【正文】 AE=ED， H 為 AD 的中點(diǎn)． （ 1）求證： EH⊥ 平面 ABCD； （ 2）在線段 BC 上是否存在一點(diǎn) P，使得二面角 B﹣ FD﹣ P 的大小為 ？若存在，求出 BP 的長；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】 MT：二面角的平面角及求法； LW：直線與平面垂直的判定． 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 AB⊥ EA， AB⊥ AD，從而 AB⊥ EH，再求出 EH⊥ AD．由此能證明 EH⊥ 平 面 ABCD． （ 2）由 AD， OH， HE 兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系 H﹣ xyz，利用向量法能求出結(jié)果． 【解答】 證明：（ 1）因?yàn)?AB∥ EF， EF⊥ EA，所以 AB⊥ EA． 因?yàn)?AB⊥ AD，且 EA∩ AD=A，所以 AB⊥ 平面 AED． 因?yàn)?EH?平面 AED，所以 AB⊥ EH． 因?yàn)?AE=ED， H 是 AD 的中點(diǎn)，所以 EH⊥ AD． 又 AB∩ AD=A，所以 EH⊥ 平面 ABCD． 解：（ 2）因?yàn)?AD， OH， HE 兩兩垂直， 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 H﹣ xyz， 則 A（ 1， 0， 0） D（﹣ 1， 0， 0）， F（ 0， 1， 1）， O（ 0， 1， 0） ， C（﹣ 1， 2， 0）． 設(shè)點(diǎn) P（ m， 2， 0）（﹣ 1≤ m＜ 1）， 于是有 ， ． 設(shè)平面 PDF 的法向量 ，則 ，即 ． 令 x=2，得 y=﹣（ m+1）， z=m﹣ 1，所以 ． 平面 BDF 的法向量 ， 所以 ，解得 m=﹣ 1． 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 2， 0）， 與點(diǎn) C 的坐標(biāo)相同，所以 BP=BC=2． 19． 2021 年 10 月 21 日，臺(tái)風(fēng) “海馬 ”導(dǎo)致江蘇、福建、廣東 3 省 11 市 51 個(gè)縣（市、區(qū)） 萬人受災(zāi)，某調(diào)查小組調(diào)查了受災(zāi)某小區(qū)的 100 戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成 [0， 2021]，臺(tái) 風(fēng)后居委會(huì)號(hào)召小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小張調(diào)查的 100 戶居民捐款情況如表所示，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過 的前提下認(rèn)為捐款數(shù)額超過或不超過 500 元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否超過 4000 元有關(guān)？ （ Ⅱ ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災(zāi)居民中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取 1 戶居民，抽取 3 次，記被抽取的 3 戶居民中自身經(jīng)濟(jì)損失超過 4000 元的人數(shù)為 ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求 ξ 的分布列，期望 E（ ξ）和方差 D（ ξ）． 經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元 經(jīng)濟(jì)損失超過 4000元 總計(jì) 捐款超過 500 元 60 捐款不超過 500 元 10 總計(jì) 附： ，其中 n=a+b+c+d P（ K2≥ k0） k0 【考點(diǎn)】 BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用； B2：簡單隨機(jī)抽樣； B8：頻率分布直方圖． 【分析】 （ Ⅰ ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的 100 人中，經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000元的有 70 人，經(jīng)濟(jì)損失超過 4000 元的有 30 人，求出 K2，得到有 95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于 500 元和自身經(jīng)濟(jì)損失 是否到 4000 元有關(guān)． （ Ⅱ ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟(jì)損失超過 4000 元居民的頻率為 ，將頻率視為概率．由題意知 ξ 的取值可能有 0， 1， 2， 3，且 ξ～ B（ 3， ）．由此能求出 ξ 的分布列，期望 E（ ξ）和方差 D（ ξ）． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的 100 戶中，經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000 元的有 70 戶，經(jīng)濟(jì)損失超過 4000 元的有 30 戶，則表格數(shù)據(jù)如下 經(jīng)濟(jì)損失不超過 4000 元 經(jīng)濟(jì)損失超過 4000 元 總計(jì) 捐款超過 500 元 60 20 80 捐款不超過 500 元 10 10 20 總 計(jì) 70 30 100 k2 的觀測值 ．因?yàn)?＞ ， P（ K2≥） =．所以可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過 的前提下認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于 500 元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到 4000 元有關(guān)． （ Ⅱ ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟(jì)損失超過 4000 元的居民的頻率為，將頻率視為概率，由題意知 ξ 的取值可能有 0， 1， 2， 3， ξ～ B（ 3， ）， ， ， 從而 ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 3 P ， ． 20．已知直線 y=x﹣ 1 過橢圓 C： 的右焦點(diǎn)，且橢圓 C 的離心率為 ． （ Ⅰ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ Ⅱ ）以橢圓 C： 的短軸為直徑作圓，若點(diǎn) M 是第一象限內(nèi)圓周上一點(diǎn)，過點(diǎn) M 作圓的切線交橢圓 C 于 P， Q 兩點(diǎn)，橢圓 C 的右焦點(diǎn)為F2，試判斷 △ PF2Q 的周長是否為定值，若是求出該定值． 【考點(diǎn)】 KL：直線與橢圓的位置關(guān)系． 【分析】 （ Ⅰ ）直線 y=x﹣ 1 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1 ， 0），得橢圓的半焦距 c．又離心率 ，得 a2=9， b2=8．即可求出橢圓方程． （ Ⅱ ）設(shè)直線 PQ 的方程為 y=kx+m（ k＜ 0， m＞ 0），由 得（ 8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣ 72=0，利用根 與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式表示及直線 PQ 與圓x2+y2=8 相 切 ， 表 示 出 PQ ， 距 離 公 式 表 示 PF2 ， QF2 由= ，即可求解． 【解答】 解：（ Ⅰ ）因?yàn)橹本€ y=x﹣ 1 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 0），由題意得橢圓 的半焦距 c=1． 又已知離心率 ，所以 a2=9，所以 b2=8． 所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ． （ Ⅱ ）根據(jù)題意作出圖形如圖所示， 設(shè)直線 PQ 的方程為 y=kx+m（ k＜ 0， m＞ 0）， 由 得（ 8+9k2） x2+18kmx+9m2﹣ 72=0， 所以 △ =（ 18km） 2﹣ 4（ 8+9k2）（ 9m2﹣ 72） =288（ 9k2﹣ m2+8） ＞ 0， 設(shè) P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）， 則 ， 所以 = = ， 因?yàn)橹本€ PQ 與圓 x2+y2=8 相切，所以 ， 即 ，所以 ， 因?yàn)?， 同理 （也可用焦半徑公式）， 所以 = 因此， △ PF2Q 的周長是定值，且定值為 6． 21．已知函數(shù) f（ x） = x2， g（ x） =alnx． （ 1）若曲線 y=f（ x）﹣ g（ x）在 x=1 處的切線的方程為 6x﹣ 2y﹣ 5=0，求實(shí)數(shù)a 的值； （ 2）設(shè) h（ x） =f（ x） +g（ x），若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù) x1， x2，都有＞ 2 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 3）若在 [1， e]上存在一點(diǎn) x0，使得 f′（ x0） + ＜ g（ x0）﹣ g′（ x0）成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程； 6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用． 【