高中數(shù)學(xué)1-2第3課時等比數(shù)列的前n項和同步導(dǎo)學(xué)案北師大版必修5(參考版)
2024-11-23 20:39本頁面
【正文】 qn1=2 3n1 Sn=qqa n??1 )1(1= 31 )31(2 ??? n =3n1. 綜上， an=3 2n1,Sn=3 (2n1)或 an=2 3n1,Sn=3n1. ｛ an｝是等比數(shù)列，其中 a7=1,且 a4,a5+1,a6成等差數(shù)列 . (1)求數(shù)列｛ an｝的通 項公式； (2)數(shù)列｛ an｝的前 n項和記為 Sn,證明： Sn128(n=1,2,3,… ). ［解析］ (1)設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的公比為 q(q∈ R且 q≠ 1), 由 a7=a1q6=1,得 a1=q6,從而 a4=a1q3=q3, a5=a1q4=q2,a6=a1q5=q1, 因為 a4,a5+1,a6成等差數(shù)列 , 所以 a4+a6=2(a5+1) 即 q3+q1=2(q2+1), q1 (q2+1)=2(q2+1). 所以 q=21 . 故 an=a1qn1=q6大綱文科， 17)設(shè)等比數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an和 Sn. ［分析］ 設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于 a1與 q的方程 .求得 a1與 q可求得數(shù)列的通項公式和前 n項和公式 . ［解析］ 設(shè) {an}的公比為 q，由已知有： a1q=6 a1=3 a1=2 .解得 或 6a1+a1q2=30 q=2 q=3 (1)當 a1=3,q=2時， an=a1北京文， 12）在等比數(shù)列｛ an｝中，若 a1=21 ,a4=4,則公比 q= 。 a3, 即 144=(4+a) 48，∴ a=1. 2，且前 5項和為 1，那么前 10項和等于（ ） ［答案］ B ［ 解析］ 解法一： S5＝qqa ??1 )1(51 =21 )21( 51 ??a =1 ∴ a1=311 ∴ S10=qqa ??1 )1( 101= 21 )21(311 10?? =33,故選 B. 解法二：∵ a1+a2+a3+a4+a5=1 ∴ a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5) 2, 當 q=2時， a1=1,a9=a6q3=256, ∴ S8=qaa??1 91=255。 64 aa ? =177。 8,a6=24+a4=24177。 當 q=2時，得 a1=1，所以 S8=qqa ??1 )1( 81=85. 解法二：因為 {an}是等比數(shù)列，所以依題意得 a24=a3 8. 將 a1q3=8代入①式，得 q2=2,沒有實數(shù) q滿足此式，故舍去 . 將 a1q3=8代入①式，得 q2=4,∴ q=177。 a5=64，求數(shù)列 {an}的前 8項和 . ［解析］ 解法一 ：設(shè)數(shù)列 {an}的公比為 q，根據(jù)通項公式 an=a1qn1，由已知條件得 a6a4=a1q3(q21)=24, ① a3前 8項的和 S8= .（用數(shù)字作答） ［答案］ 16 255 ［解析］ 考查等比數(shù)列的通項公式和前 n項和公式 . q=nnaa1? =2,a5=a1 3 . 當 q= 3 時， a1= 2 )13(7 ? , ∴ S4=qqa ??1 )1( 41=28. 當 q= 3 時， a1= 2 )13(7 ? , ∴ S4=qqa ??1 )1( 41=28. 探索延拓創(chuàng)新 命題方向 等比數(shù)列前 n項和在實際問題中的應(yīng)用 ［例 3］ 某公司實行股份制，一投資人年初入股 a萬元，年利率為 25%，由于某種需要，從第二年起此投資人每年年初要從公司取出 x萬元 . （ 1）分別寫出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投資人在該公司中的資產(chǎn)本利和； （ 2）寫出第 n年年底，此投資人的本利之和 bn與 n的關(guān)系式（不必證明）； （ 3）為實現(xiàn)第 20年年底此投資人的本利和對于原始投資 a萬元恰好翻兩番的目標，若 a=395,則 x的值應(yīng)為多少 ?(在計 算中可使用 lg2≈ ) ［解析］ (1)第一年年底本利和為 a+a當 q=1時， Sn= . (2)推導(dǎo)等比數(shù)列前 n項和公 式的方法是 . （ 1）若數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn=p(1qn)(p為常數(shù) )，且 q≠ 0,q≠ 1，則數(shù)列 {an}為 . （ 2）在等比數(shù)列的前 n項和公式中共有 a1,an,n,q,Sn五個量，在這五個量中知 求 . ［答案］ 1.（ 1）qqa n??1 )1(1 qqaa n??11 na1 (2)錯位相減法 2.（ 1）等比數(shù)列 （ 2）三 二 思路方法技巧 命
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