高中數(shù)學2-1第1課時正弦定理同步導學案北師大版必修5(參考版)
2024-11-23 20:39本頁面
【正文】 c= 2 26? . △ ABC中， a、 b、 c分別是三個內(nèi)角 A、 B、 C的對邊，若 a=2,C=4? ,cos2B = 552 ，求△ ABC的面 積 . ［解析］ 由題意知 cos2B = 552 , cosB=2cos22B 1=53 ， B為銳角 , ∴ sinB=54 , sinA=sin(π BC) =sin(53 π B)= 1027 由正弦定理，得 c＝ ACasinsin =1027222 ?=710 . ∴ S△ ABC=21 acsinB=21 2 710 54 =78 . x2(bcosA)x+acosB=0的兩根之積等于兩根之和，且 a、 b為△ ABC的兩邊， A、B為 a、 b的對角，試判斷△ ABC的形狀 . ［解析］ 設方程的兩根為 x x2,由韋達定理得 x1+x2=bcosA,x1x2=acosB,由題意得 bcosA=acosB, 由正弦定理得 2RsinBcosA=2RsinAcosB, sinAcosBcosAsinB=0. 即 sin（ AB） =0. 在△ ABC中，∵ A、 B為其內(nèi)角， ∴ 0＜ A＜π ,0＜ B＜π ,π＜ AB＜π . ∴ AB=0，即 A=B.∴△ ABC為等腰三角形 . △ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 所對應的邊為 a、 b、 b=acosC,且△ ABC的最大邊長為12，最小角的正弦值為31. （ 1）判斷三角形的形狀； （ 2）求△ ABC的面積 . ［解析］ （ 1）因為 b=acosC,所以由正弦定理得： sinB=sinAcosC, 從而 sin(A+C)=sinAcosC, 所以 sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC 所以 cosAsinC= sinC≠ cosA=0 所以∠ A=3? ,所以△ ABC為直角三角形 . (2)∵斜 邊 a=∠ C最小，則 Ccsin =12,且 sinC=31 , ∴ c=4,從而 b= 22 ca ? =8 2 , ∴ S△ ABC=21 bc=16 2 . 。 ,c＝ 2 26? ，或 A=120176。 )= 4 26? , c= BCbsinsin ＝ ??45sin 15sin2 =224262 ?? = 2 26? ， ∴ A=60176。 =sin(45176。 =15176。 45176。 )= 2223+2221= 4 26? , c=BCbsinsin= ??45sin 75sin2 =224262 ??= 2 26? ， 當 A=120176。 =sin(45176。 =75176。 45176。 當 A=60176。 , ∴ A為銳角或鈍角（或 asinB＜ b＜ a）， ∴ A=60176。 ∴ sinB= 23 ， cosB=21 . 又 cosC=31 ,∴ sinC= C2cos1? ＝ 222 . 由正弦定理，得 c= BCbsinsin =2332263 ?=8. 又∵ sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC = 63 + 32 , ∴ S△ ABC=21 bcsinA=21 3 6 8 ( 63 + 32 )=6 2 +8 3 . 三、解答題 △ ABC中，已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45176。 sin30176。 cos30176。 +30176。 , ∴最小邊為 c,由正弦定理，得 Bbsin ＝ Ccsin , ∴ ?75sin2 = ?45sinc ], 又∵ sin75176。 C=45176。 ,C=45176。 2 2x2 2 . 二、填空題 △ ABC中，角 A、 B、 C的對邊分別為 a、 b、 c，已知 A＝3?,a= 3 ,b=1,則 c= . ［答案］ 2 ［解析］ 由正弦定理得 sinB=ab = 4 26? , c= ACasinsin = ? ?? 75sin 45sin10 =10( 3 1) . △ ABC中， a=x， b=2，∠ B=45176。 +cos30176。 )=sin30176。 ,sinA=sin(30176。 ,C=45176。則 cosB=（ ） 322 B. 322 36 D. 36 ［答案］ D ［解析］ 由正弦定理，得 ?60sin15 = Bsin10 ,∴ sinB= 1560sin10 ? = 152310?= 33 . ∵ ab,A=60176。 ,故應有一解；對于C,absinA,故無解；對于 D， csinBbc,故有兩解 . 5.△ ABC中， a=2,b= 2 ， B=6?，則 A等于（ ） A. 3? B. 4? C. 4?或43? D. 3?或32? C ∵Aasin=Bbsin,∴ sinA= 22 , ∴ A=4?或 A=43?, ∵ a＞ b,∴ A＞ B,∴ A=4?或43?,∴選 C. 6.(2020 ,無解 =9,c=10,B=6
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