新人教b版高中數(shù)學選修1-1332利用導數(shù)研究函數(shù)的極值(參考版)
2024-11-22 12:08本頁面
【正文】 (2)當 f(x)的極大值為 極小值為 1時 ,求 a、 b的值 . ).0(1)( 2 ???? ax baxxf解 :(1) .)1( 2)1( )(2)1()( 222222???????????xabxaxxbaxxxaxf令 ,得 ax22bx+a=0,Δ =4b2+4a20, 0)( ?? xf故 有不相等的兩實根 α、 β,設 αβ. 0)( ?? xf又設 g(x)=ax22bx+a, 由于 a0,g(x)的圖象開口 向下 ,g(x)的值在 α的右正左負 ,在 β的左正右負 . 注意到 與 g(x)的符號相同 ,可知 α為極小值點 , β為極大值點 . )(xf?(2)由 f(α)=1和 f(β)=1可得 : .1122??????????????baba兩式相加 ,并注意到 α+β=2b/a,于是有 : .0,02,0,02)2(22??????????????babbaba ?????? ?從而方程 可化為 x2=1,它的兩根為 +1和 1, 即 α=1,β=1. 0)( ?? xf由 .2121)( 2 ????????? aabaf???故所求的值為 a=2,b=0. 關注用導數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題 ： 觀察下圖，當 t=t0時距水面的高度最大 ,那么函數(shù) h（ t）在此點的導數(shù)是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相應地，導數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？ 。02)()( 2 ????? xxfxg當 時 ,x22,由條件 ② 可知 ,即 : 20 ?? x 0)( 2 ?? xf。② 當 x2時 , 。如果 f(x0)的值比 x0附近所有各點的函 數(shù)值都小 ,我們說 f(x0)是函數(shù) y=f(x)的一個極小值 .極 大值與極小值統(tǒng)稱極值 . f(x)在 x0處連續(xù)時 ,判別 f(x0)是極大 (小 )值的方 法是 : (1):如果在 x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么 , f(x0)是極大值 。 而 ,當 x=1時有極小值 ,并且 ,y極小值 = 3. 例 3:已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+b. (1)若函數(shù) f(x)在 x=0,x=4處取得極值 ,且極小值為 1, 求 a、 b的值 . (2)若 ,函數(shù) f(x)圖象上的任意一點的切線斜 率為 k,試討論 k≥1成立的充要條件 . ]1,0[?x解 :(1)由 得 x=0或 x=4a/ 4a
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