排列組合解決常見(jiàn)策略(參考版)
2024-08-26 22:10本頁(yè)面
【正文】 根據(jù)它們的條件 ,我們就可以選取不同的技巧來(lái)解決問(wèn)題 .對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題 ,我們可以將幾種策略結(jié)合起來(lái)應(yīng)用把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，舉一反三，觸類旁通，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。排列組合歷來(lái)是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，通過(guò)我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦 ， 不易挖掘，題目多變，解法獨(dú)特，數(shù)字龐大，難以驗(yàn)證。“至少有一個(gè)”則是“有一個(gè)或一個(gè)以上”，可用分類討論法求解，它也是“沒(méi)有一個(gè)”的反面，故可用“排除法”。 不難得到，當(dāng)?shù)谝桓裉?3或 4時(shí)也各有 3種，所以共有 9種。 同理，若第二方格內(nèi)填 4，則第三方格只能填 1，第四方格應(yīng)填 3。 若第二方格內(nèi)填 1，則第三方格只能填 4，第四方格應(yīng)填 3。 第一方格內(nèi)可填 2或 3或 4。 基本方法（十二） 實(shí)驗(yàn)法（窮舉法），（枚舉法） 實(shí)驗(yàn)法（窮舉法） 題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用實(shí)驗(yàn)逐步尋求規(guī)律有時(shí)也是行之有效的方法。 2226 4 2CCC2226 4 2CCC33A2226 4 2CCC33A平均分成的組 ,不管它們的順序如何 ,都是一種情況 ,所以分組后要一定要除以 (n為均分的組數(shù) )避免重復(fù)計(jì)數(shù)。 69 84C ?（ 2） 10個(gè)相同的球裝 5個(gè)盒中 ,每盒至少一 個(gè)，共有（ ）種裝法 。 在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板， 可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè) 班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法 共有 ___________種分法。 元素相同問(wèn)題隔板策略 例 .有 10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給 7個(gè)班，每 班至少一個(gè) ,有多少種分配方案？ 解：因?yàn)?10個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成 一排。 回目錄 允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究 對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排 各個(gè)元素的位置，一般地 n不同的元素沒(méi)有限 制地安排在 m個(gè)位置上的排列數(shù)為 種 n m 某 8層大樓一樓電梯上來(lái) 8名乘客人 ,他們 到各自的一層下電梯 ,下電梯的方法 （ ） 87練習(xí)題 回目錄 基本方法 (五 ) 環(huán)排問(wèn)題和 多排問(wèn)題 環(huán)排問(wèn)題線排策略 例 1. 5人圍桌而坐 ,共有多少種坐法 ? 解： 圍桌而坐與 坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成 圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人 A并從 此位置把圓形展成直線其余 4人共有 ____ 種排法即 44AA B C E D D A A B C E （ 51)！ 一般地 ,n個(gè)不同元素作圓形排列 ,共有 (n1)!種排法 .如果從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素作圓形排列共有 1 mnm A練習(xí)題 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？ 60 多排問(wèn)題直排策略 例 ,每排 4人 ,其中甲乙在 前排 ,丁在后排 ,共有多少排法 解 :8人排前后兩排 ,相當(dāng)于 8人坐 8把椅子 ,可以 把椅子排成一排 . 先在前 4個(gè)位置排甲乙兩 個(gè)特殊元素有 ____種 ,再排后 4個(gè)位置上的 特殊元素有 _____種 ,其余的 5人在 5個(gè)位置 上任意排列有 ____種 ,則共有 _________種 . 前排 后排 24A14A55A24A 55A14A一般地 ,元素分成多排的排列問(wèn)題 ,可歸結(jié)為一排考慮 ,再分段研究 . 回目錄 有兩排座位，前排 11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排 2人就座規(guī)定前排中間的 3個(gè)座位不能坐，并且這 2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 ______ 346 練習(xí)題 基本方法 (六 ) 小集團(tuán)問(wèn)題 小集團(tuán)問(wèn)題先整體局部策略 例：計(jì)劃展出 10幅不同的畫(huà) ,其中 1幅水彩畫(huà) ,４ 幅油畫(huà) ,５幅國(guó)畫(huà) , 排成一行陳列 ,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩 端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 _______ 2 5 42 5 4A A A練習(xí)： 5男生和５女生站成一排照像 ,男生相 鄰 ,女生也相鄰的排法有 _______種 2 5 52 5 5A A A 基本方法 (七 ) 元素相同問(wèn)題隔板策略 ： 相同元素的名額分配問(wèn)題。 “ 插空 ” 有同時(shí)“ 插空 ” 和有逐一 “ 插空 ” ,并要注意條件的限定 . 回目錄 定序問(wèn)題倍縮、空位、插入策略 基本方法 (三 ) 定序問(wèn)題 定序問(wèn)題倍縮、空位、插入策略 例： 7人排隊(duì) ,其中甲乙丙 3人順序一定共有多 少不同的排法 解 : (倍縮法 )對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列 問(wèn)題 ,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起 進(jìn)行排列 ,然后用總排列數(shù)除以 這幾個(gè)元 素之間的全排列數(shù) ,則共有不同排法種數(shù) 是： 7733AA（ 空位法 ）設(shè)想有 7把椅子讓除甲乙丙以外 的四人就坐共有 種方法，其余的三個(gè) 位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種 方法 47A1 47A思考 :可以先讓甲乙丙就坐嗎 ? （ 插入法 )先排甲乙丙三個(gè)人 ,共有 1種排法 ,再 把
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