大學微積分總復(fù)習匯總(參考版)
2024-08-16 22:47本頁面
【正文】 比 ?? ?? vuuv)2(注意：要用分部積分法 (1)被積函數(shù)可以寫成一個函數(shù)乘以另一個 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的形式。s i ntax?22)2( xa ?可令 。Cex ??? dxax)13( 。s e c Cx?? ?xdxxc otc s c)11(。t an Cx??? xdx2s i n)9( ? ?xdx2c s c 。s in Cx???x d xs i n)7( 。ar c tanCx???? dxx 21 1)5( 。1(1)2(1??????????? Cxdxx。 一元函數(shù)積分學 第三部分 一、原函數(shù)與不定積分的概念 如果在區(qū)間 I內(nèi)，定義： 可導(dǎo)函數(shù) )( xF 的即 Ix?? ，都有 )()( xfxF ??或 dxxfxdF )()( ? ，那么函數(shù) )(xF 就稱為 )(xf導(dǎo)函數(shù)為 )( xf ，或 dxxf )( 在區(qū)間 I 內(nèi) 的 原函數(shù) . 任意常數(shù) 積分號 被積函數(shù) 不定積分的定義： 在區(qū)間 I 內(nèi)，CxFdxxf ??? )()(被積表達式 積分變量 函數(shù) )( xf 的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù) 稱為 )( xf 在區(qū)間 I 內(nèi)的不定積分 ，記為 ? dxxf )( . 為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可 . 由不定積分的定義，可知 ? ?),()( xfdxxfdxd ?? ,)(])([ dxxfdxxfd ??,)()(? ??? CxFdxxF .)()(? ?? CxFxdF結(jié)論 ： 微分運算與求不定積分的運算是 互逆 的 . 基本積分表 ? ? ?? kCkxk d x ()1( 是常數(shù) )。)2( 點求駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的（ 3) 如果已知最值存在，比較在端點、駐點 和導(dǎo)數(shù)不存在的點的函數(shù)值。()1( xf?求導(dǎo)數(shù)).(0)()2(極值的候選點的點的點）和導(dǎo)數(shù)不存在求駐點（即 ?? xf.)( 0,)(.)( )3(值點或極大則該點為極小或小于大于在，且二階導(dǎo)數(shù)的值如果在該點二階導(dǎo)數(shù)存是否異號考察在候選點左右兩側(cè) xf ?求最值的步驟 : )。()1( xf ??求二階導(dǎo)數(shù)。這兩種類型的其他未定為型未定式，或者可轉(zhuǎn)化型未定式，??00注意： 洛必達法則與其它求極限方法結(jié)合使用效果更好，比如能化簡先化簡，利用等價無窮小替換等 . 單調(diào)性的判別法 xyo)(xfy?xyo)(xfy?a bAB0)( ?? xf 0)( ?? xfa bBA導(dǎo)數(shù)為正，則函數(shù)單調(diào)增； 導(dǎo)數(shù)為負，函數(shù)單調(diào)減 . 利用單調(diào)性證明不等式 ① 將要證的不等式作恒等變形（通常是 移項 ), 使一端為 0, 另一端即為所作的輔助 函數(shù) f(x) ② 求 )(xf? 驗證 f(x)在指定區(qū)間上的單調(diào)性 ③ 與區(qū)間端點處的函數(shù)值或極限值作 比較即得證 . 注：有時無法判別 的符號，則可先 討論 的符號，再轉(zhuǎn)到上述第二步 . )(39。 . 拉格朗日 (Lagrange)中值定理 拉格朗日（ L a g r a n g e ）中值定理 如果函數(shù) f ( x ) 在 閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù) , 在開區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo) , 那末在 ),( ba 內(nèi)至少有一點 )( ba ???? ，使等式 ))((39。對的微分或稱為在點稱為 xyxxf 0)(.39。)()(lim)()(lim)( 0000000 0 xxfxxfxxxfxfxfxxx ???????? ??????★ 函數(shù) )( xf 在點0x處可導(dǎo) ? 左導(dǎo)數(shù) )(0xf ??和右 導(dǎo)數(shù) )(0xf ??都存在且相等 ? 函數(shù) )( xf 在點 0x處連續(xù) . 例 .0)( 處的可導(dǎo)性在討論函數(shù) ?? xxxf解 xy?xyo,)0()0
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