6-線性規(guī)劃(參考版)
2024-08-15 09:20本頁面
【正文】 2 。 。 1 數(shù)學(xué)實驗報告要求 : :包括解決問題的理論依據(jù)， 建立的數(shù)學(xué)模型以及求解問題的思路和方法。 總結(jié) 55 選題及組隊 ， 共同協(xié)作完成一份實驗報告 。 理論法可以解決決策變量少，約束條件少的線性規(guī)劃問題，理論上可行。 若 (LP)問題有最優(yōu)解，必可以在基本可行解(頂點 )達(dá)到。 定義 5 頂點 : 47 LP問題解的性質(zhì) : 若 (LP)問題有可行解，則可行解集 (可行域 )是凸集 (可能有界，也可能無界 )，有有限個頂點。 k x(k) 則稱點 x為 x(1) , x(2) , … ,x (k) 的 凸組合 。 i =1 k i=1 使得 x= 181。k 滿足 0 ? 181。 1 , 181。 43 又 由 det(B1) =6≠0, 知 B1可逆 ,可以充當(dāng)基矩陣 . 1 2 1 3 2 0 0 2 0 = 若取 B1 =(P1 P2 P3 ) 相應(yīng)的非基陣 N1 =[P4 P5] xB1= x1 x2 x3 , 基變量 x4 x5 xN1= . 非基變量 得基本解 令 12 12 6 0 0 xB1 xN1 x= = (B1 ) 1 b 0 = . x4 x5 xN1= = 0 0 , 非 基本 可行解 x3+x4 =0, x2 +x3 +x4 =3, x1 +x2 +x3+x4 =2, xj ?0 ( j=1,2,3,4 )。 41 例 b= 30 60 24 取 B=[P3 P4 P5]=I 可逆 , 基陣 。 稱為 Ax=b的一個 基本 可行 解。 設(shè) x= x1 xm … xm+1 xn … = xB xN ， 39 xB = B1 b B1N xN A=[BN] x= xB xN Ax=b 記 : BxB +NxN=b BxB =b NxN 定義 3： 基本解 稱為 Ax=b的一個基本解 , 最多有 m個非零分量。 基變量 : x1 xm … xB = 。 基向量 : P1 … Pm 。 則 D稱為 凸集 。 . 30 ３、線性規(guī)劃問題的理論解法 : 凸集 ： 定義 1： Ax=b (1) x ? 0 (2) maxZ=cx (3) 設(shè) D是 n維歐氏空間的一個集合 。= Z max Z39。 化為標(biāo)準(zhǔn)型。m a x令 Z39。 (4) 28 (3)、目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換 Z Z 39。 ? 16, x139。 (3) 6+6 ? x1+6 ? 10+6 易知 : 例 4: (3) x139。 = x1 +6, 則 0? x139。 , x1 , x2 ?0。 – 3 x1 +2x2 ? 8, x139。 x1 3x1+2x2 ? 8, x1 –4x2? 14, x2?0, x1 為自由變量 。 . 25 minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 ?12， x1 + x2 +7x3+5x4 ?14， 2x2 + x3+3x4 ? 8， xi ? 0 (i =1,…,4) ； 例 2： minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 +0x5 +0x6 +0x7 4x1 + 6x2 + x3+2x4 x5 =12， x1 + x2 +7x3+5x4 x6 =14， 2x2 + x3+3x4 –x7= 8， xi ? 0 (i =1,2,…,7) ； 其中 x5 , x6, x7 為剩余變量 。x 4+0稱為價值向量TC21 １、 線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式 ２．化一般線性規(guī)劃問題為標(biāo)準(zhǔn)形 )(1iijnjij bbxa ????（ 1）約束條件的轉(zhuǎn)換： ?????????????????0)(11iniinjnjijiinjnjijxbxxabxxa 或inx? 稱為 松弛變量 或 剩余變量 22 x1 +2x2 +x3 =30， 3x1 +2x2 +x4 =60， 2x2 + +x5 =24， x1 , …, x5 ?0 ； maxZ=40x1+ 50x2+0 BC線段 : ? ? ? ? ? ?2121 1 xxxxx ?? ??????????maxZ=1200 35 0 10 20 30 x2 D A B C 3x1+2x2 = 60 x1+2x2 = 30 2x2 = 24 20 30 10 x1 Z=1200 Z=0 例３、 max Z=3x1+2x2 x1 x2 ?1, x1 , x2 ?0。 例 2: 求解 . 最優(yōu)解： BC線段 B點 : x(1)=(6,12)39。 x1 =0 (縱 ) x2 ?0。在這一點右邊，風(fēng)險增加很大時，利潤增長很緩慢，所以對于風(fēng)險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點作為最優(yōu)投資組合， 大約是 a*=%， Q*=20% ， 此時 風(fēng)險度為 收益為 , 所對應(yīng)投資方案為 : x0 x1 x2 x3 x4 0 線性規(guī)劃問題的圖解法 Ax=b (1) x ? 0 (2) maxZ=cx (3) 定義 1： 滿足約束 (1)、 (2)的 x=(x1 , … , xn)T稱為LP問題的可行解，全部可行解的集合稱為 可行域。對于不同風(fēng)險的承受能力，選擇該風(fēng)險水平下的最優(yōu)投資組合。即 : 冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。) a = 0 . 0 0 3 0 x = 0 . 4 9 4 9 0 . 1 2 0 0 0 . 2 0 0 0 0 . 0 5 4 5 0 . 1 1 5 4 Q = 0 . 1 2 6 6a = 0 . 0 0 6 0 x = 0 0 . 2 4 0 0 0 . 4 0 0 0 0 . 1 0 9 1 0 . 2 2 1 2 Q = 0 . 2 0 1 9a = 0 . 0 0 8 0 x = 0 . 0 0 0 0 0 . 3 2 0 0 0 . 5 3 3 3 0 . 1 2 7 1 0 . 0 0 0 0 Q = 0 . 2 1 1 2a = 0 . 0 1 0 0 x = 0 0 . 4 0 0 0 0 . 5 8 4 3 0 0 Q = 0 . 2 1 9 0a = 0 . 0 2 0 0 x = 0 0 . 8 0 0
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