【正文】 福建 ) 將容量為 n 的樣本中的數(shù)據(jù)分成 6 組， 繪制頻率分布直方圖，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻 率之比為 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 6 ∶ 4 ∶ 1 ，且前三組數(shù)據(jù)的頻 數(shù)之和等于 27 ，則 n ＝ ________. 解析 ∵ 第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 6 ∶ 4 ∶ 1 ， ∴ 前三組頻數(shù)為2 ＋ 3 ＋ 420福建 ) 若某校高一年級(jí) 8 個(gè)班參加合唱比賽 的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平 均數(shù)分別是 ( ) A . 和 B ． 和 92 C ． 91 和 D ． 92 和 92 解析 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，得 87,8 9,90 ,91, 92,9 3,9 4,96 . 故平均數(shù) x ＝87 ＋ 89 ＋ 90 ＋ 91 ＋ 92 ＋ 93 ＋ 94 ＋ 968 ＝ ， 中位數(shù)為91 ＋ 922＝ ，故選 A. A 二、填空題 6 ． ( 2022 總數(shù)． （ 2 ）根據(jù) 2 2 列聯(lián)表求 K2的觀測(cè)值→檢驗(yàn)作答 . (3) 先分析男、女老人需要幫助的比例是否有差異，若有顯著差異，則用分層抽樣． 解 (1) 調(diào)查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例的估計(jì)值為70500＝ 14%. (2) K2＝500 ? 40 270 － 30 160 ?2200 300 70 430≈ 7. 由于 ，所以有 99% 的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)． (3) 由 (2) 的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法，比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好 ． 探究提高 ( 1) 用樣本估計(jì)總體，是統(tǒng)計(jì)中的重要內(nèi)容，因而要重點(diǎn)考慮樣本的代表性． ( 2) 獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)論是我們有多大把握認(rèn)為兩變量有關(guān)系， 而不是說(shuō)它們的相關(guān)關(guān)系有多大 ． 變式訓(xùn)練 4 (2022 y∑4i ＝ 1x2i－ 4 x2＝ － 4 86 － 4 2＝ ， a^ ＝ y － b^ x ＝ － ＝ . ∴ 線性回歸方程為 y^ ＝ x ＋ . ( 3) 根據(jù)回歸方程的預(yù)測(cè)， 現(xiàn)在生產(chǎn) 100 噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為 y^ ＝ 100 ＋ ＝ ， ∴ 耗能降低了 90 － ＝ ( 噸標(biāo)準(zhǔn)煤 ) ． 題型四 獨(dú)立性檢驗(yàn) 例 4 ( 2022湖北 ) 為了了解一個(gè)小水庫(kù)中養(yǎng)殖的魚(yú)的有關(guān)情況，從這個(gè)水庫(kù)中多個(gè)不同位置捕撈出100 條魚(yú)，稱得每條魚(yú)的質(zhì)量 ( 單位： kg ) ，并將所得數(shù)據(jù)分組，畫(huà)出頻率分布直方圖 ( 如圖所示 ) ． (1) 在下面表格中填寫(xiě)相應(yīng)的頻率； 分組 頻率 ?????? ， ?????? ， ?????? ， ?????? ， ?????? ， ?????? ， (2) 估計(jì)數(shù)據(jù)落在?????? ， 中的概率為多少； (3) 將上面捕撈的 10 0 條魚(yú)分別作一記號(hào)后再放回水庫(kù)．幾天后再?gòu)乃畮?kù)的多處不同位置捕撈出 12 0 條魚(yú)，其中帶有記號(hào)的魚(yú)有 6 條．請(qǐng)根據(jù)這一情況來(lái)估計(jì)該水庫(kù)中魚(yú)的總條數(shù)． 解 (1) 根據(jù)頻率分布直方圖可知，頻率＝組距 ( 頻率 /組距 ) ，故可得下表： 分組 頻率 ?????? ， ?????? ， ?????? ， ?????? ， ?????? ， ?????? ， (2) ＋ ＋ ＝ ，所以數(shù)據(jù)落在 [ , ) 中的概率約為 . (3)120 1006＝ 2 000 ，所以水庫(kù)中魚(yú)的總條數(shù)約為 2 000. 題型 二 莖葉圖、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差 例 2 (2022 安徽 ) 從長(zhǎng)度分別為 2 、 3 、 4 、 5 的四條線段 中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成 三角形的概率是 ________ ． 解析 從長(zhǎng)度為 2,3,4,5 的四條線段中任意取出三條共有 4 種不同的取法，其中可以構(gòu)成三角形的有( 2,3,4) 、 ( 2,4,5) 、 ( 3,4,5 ) 三種，故所求概率為 P ＝34. 34 8 ．某汽車(chē)站每天均有 3 輛開(kāi)往濟(jì)南的分為上、中、下等級(jí)的客車(chē)，某天袁先生準(zhǔn)備在該汽車(chē)站乘車(chē)前往濟(jì)南辦事，但他不知道客車(chē)的車(chē)況，也不知道發(fā)車(chē)順序．為了盡可能乘上上等車(chē)，他采取如下策略：先放過(guò)一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上 第三輛．那么他乘上上等車(chē)的概率為 ____ ____ ． 解析 共有 6 種發(fā)車(chē)順序： ① 上、中、 下 ② 上、下、中 ③ 中、 上 、下 ④ 中、下、 上 ⑤ 下、 中 、上 ⑥ 下、 上 、中 ( 其中畫(huà)橫線的表示袁先生所乘的車(chē) ) ，所以他乘坐 上等車(chē)的概率為36＝12. 12 三、解答題 9 ．一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的 12 只小球，其中 5 個(gè)紅球， 4 個(gè)黑球， 2 個(gè)白球， 1 個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出 1 球，求： ( 1) 取出的小球是紅球或黑球的概率； ( 2) 取出的小球是紅球或黑球或白球的概率． 解 記事件 A ＝ { 任取 1 球?yàn)榧t球 } ； B ＝ { 任取 1 球?yàn)楹谇?} ； C ＝ { 任取 1 球?yàn)榘浊?} ； D ＝ { 任取 1 球?yàn)榫G球 } ， 則 P ( A ) ＝512， P ( B ) ＝412， P ( C ) ＝212， P ( D ) ＝112. ( 1) 取出 1 球?yàn)榧t球或黑球的概率為 P 1 ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＝512＋412＝34. ( 2) 取出 1 球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為 P 2 ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＋ P ( C ) ＝512＋412＋212＝1112. ( 或 P 2 ＝ 1 － P ( D ) ＝ 1 －112＝1112) ． 10 ．某學(xué)校的籃球隊(duì)、羽毛球隊(duì)、乒乓球隊(duì)各有 10 名隊(duì)員，某些隊(duì)員不止參加了一支球隊(duì)，具體情 況如圖所示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，求： ( 1) 該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概 率； ( 2) 該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率． 解 從圖中可以看出， 3 個(gè)球隊(duì)共有 20 名隊(duì)員． ( 1) 記 “ 隨機(jī)抽取一名隊(duì)員， 該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì) ” 為事件 A . 則 P ( A ) ＝3 ＋ 5 ＋ 420＝35. 故隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員只屬于一支球隊(duì)的概率為35. ( 2) 記 “ 隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì) ” 為事件 B ，則對(duì)立事件 B 為 “ 隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員屬于三支球隊(duì) ” ． 故 P ( B ) ＝ 1 － P ( B ) ＝ 1 －220＝910. 所以隨機(jī)抽取一名隊(duì)員，該隊(duì)員最多屬于兩支球隊(duì)的概率為910. 返回 第 2 講 統(tǒng) 計(jì) 與 統(tǒng) 計(jì) 案 例 感 悟高 考 明確考向 ( 2022 山東 ) 在區(qū)間??????－π2，π2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x ， c os x 的值介于 0 到12之間的概率為 ( ) A.13 B.2π C.12 D.23 解析 在區(qū)間 [ －π2，π2] 上， 0 c os x 12? x ∈??????－π2，－π3∪??????π3，π2，其區(qū)間長(zhǎng)度為π3，又已 知區(qū)間??????－π2，π2的長(zhǎng)度為 π. 由幾何概型知 P ＝π3π＝13. A 4 ． ( 2022 山東 ) 一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為 1,2,3,4. ( 1) 從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于 4 的概率； ( 2) 先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為 m ，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n ，求 n m ＋ 2 的概率． 解 (1 ) 從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： 1 和 2, 1 和 3, 1 和 4,2 和 3,2 和 4, 3 和 4 ， 共 6 個(gè)． 從袋中取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不大于 4 的事件有： 1 和2,1 和 3 ，共 2 個(gè)．因此所求事件的概率為 P ＝26＝13. (2) 先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為 m ，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為 n ，其一切可能的結(jié)果 ( m ，n ) 有： (1,1) ， (1,2) ， (1 ,3) ， (1,4) ， (2,1) ， (2,2) ， (2,3) ， (2, 4) ， (3,1) ，(3,2) ， (3,3) ， (3, 4) ， (4,1) ， (4,2) ， (4,3) ， ( 4,4) ，共