【正文】 湖南 ) 若數(shù)列 { a n } 滿足：對(duì)任意的 n ∈ N*，只有有限個(gè) 正整數(shù) m 使得 a m n 成立，記這樣的 m 的個(gè)數(shù)為 { a n }*，則得到 一個(gè)新數(shù)列 {( a n )*} ．例如，若數(shù)列 { a n } 是 1, 2, 3 ， ? ， n ， ? ， 則數(shù)列 {( a n )*} 是 0, 1, 2 ， ? ， n － 1 ， ? . 已知對(duì)任意的 n ∈ N*， a n ＝ n2，則 ( a 5 )*＝ ________ ， (( a n )*)*＝ ________. 解析 由 ( an)*的定義知，要求 ( a5)*只需尋找滿足 am5 的m 的個(gè)數(shù)即可． 由于 12＝ 15,22＝ 45,32＝ 95 ，故 ( a5)*＝ 2. ∵ { an} ＝ { 1,22,32， ? ， n2， ? } ， ∴ (( a1)*)*＝ 1 ， (( a2)*)*＝ 4 ＝ 22， (( a3)*)*＝ 9 ＝ 32， ? ， (( an)*)* ＝ n2. ? }.,{) * }{()(??? ????? ???? ??個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)127531 33222221110???nn nna2 n2 8 ．直線 y ＝ kx ＋ 3 k － 2 與直線 y ＝－14x ＋ 1 的交點(diǎn)在第一象限， 則 k 的取值范圍是 ________ ． 解析 因?yàn)?y ＝ kx ＋ 3 k － 2 ，即 y ＝ k ( x ＋ 3) － 2 ，故直線過(guò)定點(diǎn) P ( － 3 ，－ 2) ，而定直線 y ＝－14x ＋ 1 在兩坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)分別為 A ( 4,0) ， B ( 0,1) ． 如圖所示，求得27 k 1. 27k1 9. 已知四面體 ABCD 的一條棱長(zhǎng)為 x ，其余棱長(zhǎng)都為 1 ，則 x 的取值范圍是 ________ ． 解析 如圖所示，設(shè) AB 邊長(zhǎng)為 x ，固定 △ B C D ，讓△ A C D 繞 CD 轉(zhuǎn)動(dòng) . 當(dāng)點(diǎn) A ， x → B 時(shí)， x → 0 ；當(dāng)點(diǎn) A → A 1 ( 正 △ A 1 CD 與 △ B C D ) 共面時(shí)， x → 3 . 故 x ∈ (0 ， 3 ) ． (0， 3) 10 ． ( 20 10 n ，則可得 a n ＝ 4 n － 2 ， b n ＝ 6 n － 2 ， ∴a nb n＝4 n － 26 n － 2＝2 n － 13 n － 1. 2n－ 13n－ 1 6 ． △ ABC 的外接圓的圓心為 O ，兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H ， OH→ ＝ m ( OA→ ＋ OB→ ＋ OC→ ) ，則實(shí)數(shù) m ＝ ____. 解析 ( 特殊值法 ) 當(dāng) ∠ B ＝ 90176。＝－12. － 12 5 ．設(shè)等差數(shù)列 { a n } ， { b n } 的前 n 項(xiàng)的和分別為 S n 與 T n ，若S nT n ＝2 n3 n ＋ 1，則a nb n＝ ________. 解析 因?yàn)榈炔顢?shù)列的前 n 項(xiàng)和公式為 S n ＝ a 1 n ＋n ( n － 1 ) d2 ＝d2n2＋ ( a 1 －12d ) n ，故可設(shè) S n ＝ 2 n 2n － 1＝ 2n ＋ 1，所以 a n ＝ 2n ＋ 1－ 3. 2n＋ 1－ 3 4 ．設(shè)非零向量 a ， b ， c 滿足 | a |＝ | b |＝ | c |， a ＋ b ＝ c ，則 c os 〈 a ， b 〉＝ ________. 解析 設(shè)正三角形 △ ABC 中， BA→＝ a ， AC→＝ b ， BC→＝ c ，所以 BA→與 AC→的夾角為 120176。 ? 3 a 6 ＝ 9 ，則 log 3 a 1 ＋ log 3 a 2 ＋ ? ＋ log 3 a 10 ＝ ________. 解析 特殊化法：盡管滿足 a 5 . 變式訓(xùn)練 2 在 △ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所對(duì)的邊分別為 a 、 b 、 c ，如果 a 、 b 、 c 成等差數(shù)列，則c os A ＋ c os C1 ＋ c os A c os C＝ ________. 解析 方法一 取特殊值 a ＝ 3 ， b ＝ 4 ， c ＝ 5 ，則 c o s A＝45， c o s C ＝ 0 ，c o s A ＋ c o s C1 ＋ c o s A c o s C＝45. 方法二 取特殊角 A ＝ B ＝ C ＝π3， c o s A ＝ c o s C ＝12，c o s A ＋ c o s C1 ＋ c o s A c o s C＝45. 45 例 3 如圖所示，在 △ ABC 中 , AO 是 BC 邊上 的中線， K 為 AO 上一點(diǎn)，且 OA→＝ 2 AK→, 過(guò)點(diǎn) K 的直線分別交直線 AB 、 AC 于不同 的兩點(diǎn) M 、 N ，若 AB→＝ m AM→， AC→＝ n AN→，則 m ＋ n ＝ ________. 思維啟迪 題目中過(guò)點(diǎn) K 的直線是任意的，因此 m 和 n 的值是變化的，但從題意看 m ＋ n 的值是一個(gè)定值，故可取一條特殊的直線進(jìn)行求解． 解析 當(dāng)過(guò)點(diǎn) K 的直線與 BC 平行時(shí)， MN 就是 △ ABC 的一條中位線 ( ∵ OA→ ＝ 2 AK→ ， ∴ K 是 AO 的中點(diǎn) ) ．這時(shí)由于有 AB→＝ m AM→ ， AC→ ＝ n AN→ ， 因此 m ＝ n ＝ 2 ，故 m ＋ n ＝ 4. 探究提高 本題在解答中，充分考慮了 “ 直線雖然任意 ,但 m ＋ n 的值卻是定值 ” 這一信息，通過(guò)取直線的一個(gè)特殊位置得到了問(wèn)題的解 , 顯得非常簡(jiǎn)單 , 在求解這類填空題時(shí)，就要善于捕捉這樣的有效信息 , 幫助我們解決問(wèn)題． 答案 4 變式訓(xùn)練 3 設(shè) O 是 △ ABC 內(nèi)部一點(diǎn)，且 O A→ ＋ OC→ ＝－ 2 OB→ ， 則 △ A O B 與 △ A O C 的面積之比為 ____ _ _ ． 解析 采用特殊位置，可令 △ ABC 為正三角形， 則根據(jù) OA→＋ OC→＝－ 2 OB→可知， O 是 △ ABC 的中心，則 OA ＝ OB ＝ OC ， 所以 △ A O B ≌△ A O C ， 即 △ A O B 與 △ A O C 的面積之比為 1. 1 題型三 圖象分析法 ( 數(shù)形結(jié)合法 ) 依據(jù)特殊數(shù)量關(guān)系所對(duì)應(yīng)的圖形位置、特征，利用圖形直 觀性求解的填空題，稱為圖象分析型填空題，這類問(wèn)題的 幾何意義一般較為明顯．由于填空題不要求寫出解答過(guò) 程，因而有些問(wèn)題可以借助于圖形，然后參照?qǐng)D形的形 狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，進(jìn)行直觀地分析，加 上簡(jiǎn)單的運(yùn)算，一般就可以得出正確的答案．事實(shí)上許多 問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)與形的結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合法解題既 淺顯易懂，又能節(jié)省時(shí)間．利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題 能很好地考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及靈 活處理問(wèn)題 的能力，此類問(wèn)題為近年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容． 例 4 已知方程 ( x 2 － 2 x ＋ m )( x 2 － 2 x ＋ n ) ＝ 0 的四個(gè)根組成一個(gè) 首項(xiàng)為14的等差數(shù)列，則 | m － n |的值等于 ________ ． 思維啟迪 考慮到原方程的四個(gè)根，其實(shí)是拋物線 y ＝ x 2－ 2 x ＋ m 與 y ＝ x 2 － 2 x ＋ n 和 x 軸四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以可以利用圖象進(jìn)行求解． 解析 如圖所示，易知拋物線 y ＝ x2－ 2 x＋ m 與 y ＝ x2－ 2 x ＋ n 有相同的對(duì)稱軸 x ＝1 ，它們與 x 軸的四個(gè)交點(diǎn)依次為 A 、 B 、C 、 D . 因?yàn)?xA＝14，則 xD＝74. 又 |AB |＝ |BC |＝ |CD |，所以 xB＝34， xC＝54. 故 | m － n |＝ |1474－3454|＝12. 12 探究提高 本題是數(shù)列問(wèn)題，但由于和方程的根有關(guān)系，故可借助數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解，因此在解題時(shí)，我們要認(rèn)真分析題目特點(diǎn)，充分挖 掘其中的有用信息，尋求最簡(jiǎn)捷的解法． 變式訓(xùn)練 4 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f ( x ) 滿足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) , 且在區(qū)間 [ 0,2 ] 上是增函數(shù)，若方程 f ( x ) ＝ m ( m 0) ，在區(qū)間 [ － 8,8 ] 上有四個(gè)不同的根 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ，則 x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＋ x 4 ＝ ________. 解析 因?yàn)槎x在 R 上的奇函數(shù)，滿足 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) ，所以 f (4 － x ) ＝ f ( x ) ．因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線 x ＝ 2 對(duì)稱且f ( 0) ＝ 0 ，由 f ( x － 4) ＝－ f ( x ) 知 f ( x － 8) ＝ f ( x ) ，所以函數(shù)是以8 為周期的周期函數(shù)．又因?yàn)?f ( x ) 在區(qū)間 [ 0,2] 上是增函數(shù)，所以 f ( x ) 在區(qū)間 [ － 2,0] 上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程 f ( x ) ＝ m ( m 0) 在區(qū)間 [ － 8,8] 上有四個(gè)不同的根 x1，x2， x3, x4，不妨設(shè) x1 x2 x3 x4. 由對(duì)稱性知 x1＋ x2＝－ 12 ，x3＋ x4＝ 4 ，所以 x1＋ x2＋ x3＋ x4＝－ 12 ＋ 4 ＝－ 8. 8 例 5 函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象如圖所示，其定義 域?yàn)?[ － 4, 4] ，那么不等式f ( x )s in x≤ 0 的解集 為 ___ __________________________ _____ ． 解析 f ( x )s i n x≤ 0 ?????? f ( x ) ≤ 0 ，s i n x 0 ，或????? f ( x ) ≥ 0 ，s i n x 0 ，在給出的坐標(biāo)系中，再作出 y ＝ s i n x 在 [ － 4,4] 上的圖象，如圖所示 , 觀察圖象即 可得到所求的解集為 [ － 4 ，－ π) ∪ ( － π ，0) ∪ [π2， π) ． [ － 4 ，－ π) ∪ ( － π ， 0) ∪ [ π2 ， π) 探究提高 與函數(shù)有關(guān)的填空題，依據(jù)題目條件，靈活地應(yīng)用函數(shù)圖象解答問(wèn)題，往往可使抽象復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題變得形象直觀，使問(wèn)題快速獲解． 變式訓(xùn)練 5 不等式（ | x | ） . 答案 60176。59≤ 0 ， ∴ n ≤325， ∵ n ∈ N*. ∴ 前 6 項(xiàng)均為負(fù)值， ∴ Sn的最小值為 S6＝－293. 答案 － 293 探究提高 本題運(yùn)用直接法，直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷出數(shù)列的項(xiàng)的符號(hào)，進(jìn)而確定前幾項(xiàng)的和最小，最后利用等差數(shù)列的求和公式求得最小值． 變式訓(xùn)練 1 設(shè) S n 是等差數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和，已知 a 2 ＝ 3 ， a 6 ＝ 11 ，則 S 7 ＝ ________. 解析 方法一 S7＝7 ( a1＋ a7)2 ＝7 ( a2＋ a6)2＝7 ( 3 ＋ 11 )2＝ 49. 故填 49. 方法二 由????? a2＝ a1＋ d ＝ 3 ，a6＝ a1＋ 5 d ＝ 11可得????? a1＝ 1 ，d ＝ 2 ， ∴ a7＝ 1 ＋ 6 2 ＝ 13. ∴ S7＝7 ( a1＋ a7)2＝7 ( 1 ＋ 13 )2＝ 49. 故填 49. 49 題型