【正文】 ，斜率 k 存在；傾斜角 θ ＝ 9 0 176。12＋ 3 a h ≤ bc . 當(dāng) A 與短軸端點重合時， ( S △ ABF ) m a x ＝ bc . bc 7 ． y ＝ f ( x ) ＝????? 3 x ＋ 6 ， x ≥ － 2－ 6 － 3 x ， x － 2，若不等式 f ( x ) ≥ 2 x － m 恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) y ＝ 2 x － m 及 y ＝f ( x ) 的圖象 ( 如圖 ) ，由于不等式 f ( x ) ≥ 2 x － m 恒成立，所以函數(shù) y ＝ 2 x － m 的圖象應(yīng)總在函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象的下方，因此，當(dāng) x ＝－ 2 時， y ＝－ 4 － m ≤ 0 ，所以 m ≥ － 4 ，所以 m 的取值范圍是 [ － 4 ，＋ ∞ ) ． [ － 4 ，＋ ∞ ) 8 ．函數(shù) f ( θ ) ＝si n θ2 ＋ co s θ的最大值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 si n θ2 ＋ c o s θ可以與兩點連線的斜率聯(lián)系起來，它實際上是點 P ( c o s θ ， s i n θ ) 與點 A ( － 2 ， 0) 連線的斜率，而點 P ( c o s θ ， si n θ ) 在單位圓上移動，問題變?yōu)椋呵髥挝粓A上的點與 A ( － 2 ， 0) 連線斜率的最大值．如圖，顯然，當(dāng) P 點移動到 B 點 ( 此時， AB 與圓相切 ) 時， AP 的斜率最大，最大值為 t a n ∠ BAO ＝| OB || AB |＝ 1. 1 三、解答題 9 ．不等式 x2＋ |2 x － 4| ≥ p 對所有 x 都成立，求實數(shù) p 的 最大值． 解 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) ＝ | x － 2| ， g ( x ) ＝－x22＋ p2，解不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) ，即確定使函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象在函數(shù) y ＝ g ( x ) “ 上方 ” 的 點的橫坐標(biāo) x 的取值范圍，而本題是已知 這個范圍對一切 x 成立，求 p 的最大值． 如圖， y ＝－x22＋p2的圖象可以由 y ＝－x22的圖象的頂點在 y 軸上下移動而得，滿足題目條件的解應(yīng)為 y ＝ | x －2| 的圖象在 y ＝－x22＋p2的圖象上方的極端情況． ????? y ＝－x22＋p2，y ＝ | x － 2| ( x 2 ) ，只有一解． ∴ －x22＋p2＝ 2 － x ， 即 x2－ 2 x － ( p － 4) ＝ 0 ， Δ ＝ 4 ＋ 4( p － 4) ＝ 0 ， p ＝ 3. 即 p 的最大值為 3. 10 ．已知實系數(shù)一元二次方程 x2＋ ax ＋ 2 b ＝ 0 有兩個根， 一個根在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 內(nèi)，另一個根在區(qū)間 ( 1 , 2 ) 內(nèi)，求： ( 1 ) 點 ( a ， b ) 對應(yīng)的區(qū)域的面積； ( 2 )b － 2a － 1的取值范圍； ( 3 ) ( a － 1)2＋ ( b － 2)2的值域． 解 方程 x2＋ ax ＋ 2 b ＝ 0 的兩根在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 和 ( 1 , 2 ) 上的幾何意義分別是：函數(shù) y ＝ f ( x ) ＝ x2＋ ax ＋ 2 b 與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 和 ( 1 , 2 ) 內(nèi)， 由此可得不等式組????? f ( 0 ) 0 ，f ( 1 ) 0 ，f ( 2 ) 0 ，?????? b 0 ，a ＋ 2 b ＋ 1 0 ，a ＋ b ＋ 2 0 . 由????? a ＋ 2 b ＋ 1 ＝ 0 ，a ＋ b ＋ 2 ＝ 0.解得 A ( － 3 , 1 ) ． 由????? a ＋ b ＋ 2 ＝ 0 ，b ＝ 0.解得 B ( － 2 , 0 ) ， 由????? a ＋ 2 b ＋ 1 ＝ 0b ＝ 0.解得 C ( － 1 , 0 ) ． ∴ 在如圖所示的 a O b 坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足 約束條件的點 ( a ， b ) 對應(yīng)的平面區(qū)域為 △ ABC ( 不包括邊界 ) ． ( 1 ) △ ABC 的面積為 S△ ABC＝12 | BC | h ＝12( h 為 A 到 Oa 軸的距離 ) ． ( 2 )b － 2a － 1幾何意義是點 ( a ， b ) 和點 D ( 1 , 2 ) 連線的斜率． ∵ kAD＝2 － 11 ＋ 3＝14， kCD＝2 － 01 ＋ 1＝ 1 ， 由圖可知 kADb － 2a － 1 kCD， ∴14b － 2a － 11 ，即b － 2a － 1∈ (14， 1) ． ( 3 ) ∵ ( a － 1)2＋ ( b － 2)2表示區(qū)域內(nèi)的點 ( a ， b ) 與定點 ( 1 , 2 ) 之間距離的平方， ∴ ( a － 1)2＋ ( b － 2)2∈ ( 8 , 1 7 ) ． 返回 第 3 講 分類討論思想 感 悟高 考 時確考向 ( 2 0 1 0 | AC | ＝ | PA |＝ ( x － 1 )2＋ ( y － 1 )2－ 1 ， 從而欲求 S 四邊形P A C B的最小值， 只需求 | PA | 的最小值，只需求| PC |2＝ ( x － 1)2＋ ( y － 1)2的最小值，即定點 C ( 1,1) 與直線上動點P ( x ， y ) 距離的平方的最小值，它也就是點 C ( 1,1) 到直線 3 x ＋4 y ＋ 8 ＝ 0 的距離的平方，這個最小值 d2＝ (|3 1 ＋ 4 1 ＋ 8|32＋ 42)2＝ 9 ， ∴ ( S 四邊形P A CB)m i n＝ 9 － 1 ＝ 2 2 . 方法三 利用函數(shù)思想，將方法二中 S 四 邊形 P A C B ＝( x － 1 )2＋ ( y － 1 )2－ 1 中的 y 由 3 x ＋ 4 y ＋ 8 ＝ 0 中解出，代入化為關(guān)于 x 的一元函數(shù)，進而用配方法求最值，也可得 ( S 四邊形 P A C B ) m in ＝ 2 2 . 探究提高 本題的解答運用了多種數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想，運動變化的思想，等價轉(zhuǎn)化的思想以及配方法，靈活運用數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)問題快速得以解決． 變式訓(xùn)練 3 已知點 P 在拋物線 y2＝ 4 x 上，那么點 P到點 Q (2 ，－ 1) 的距離與點 P 到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點 P 的坐標(biāo)為 ( ) A ． (14，－ 1) B ． (14， 1) C ． ( 1 , 2 ) D ． (1 ，－ 2) 解析 定點 Q (2 ，－ 1) 在拋物線內(nèi)部， 由拋物線的定義知，動點 P 到拋物線 焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，問 題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點 P 到點 Q 和到拋物線的 準(zhǔn)線距離之和最小時，求點 P 的坐標(biāo)， 顯然點 P 是直線 y ＝－ 1 和拋物線 y2＝ 4 x 的交點，解得這個點的坐標(biāo)是 (14，－ 1) ． A 規(guī) 律 方 法 總 結(jié) 1 ． 利用數(shù)形結(jié)合解題，只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象． 2 ．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是解決高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法 與技巧，特別在解選擇題、填空題時更方便， 可以提高解題速度． 3 ．?dāng)?shù)形結(jié)合思想常用模型： 一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點間的距離公式 ( 或向量的模、復(fù)數(shù)的模 ) ，點到直線的距離公式等 . 知能提升演練 一、選擇題 1 ．設(shè)全集 I 是實數(shù)集 R . M ＝ { x | x24 } 與 N ＝ { x |2x － 1≥ 1} 都是 I 的子集 ( 如圖所示 ) ，則陰影部分所表示的集合 為 ( ) A ． { x | x 2 } B ． { x |－ 2 ≤ x 1 } C ． { x | 1 x ≤ 2 } D ． { x |－ 2 ≤ x ≤ 2} 解析 M ＝ { x | x 2 或 x － 2} ， N ＝ { x | 1 x ≤ 3} ， 觀察圖 形陰影部分表 示的集合為： ( ? I M ) ∩ N ＝{ x | 1 x ≤ 2} 故選 C. C 2 ．設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝????? 2－ x－ 1 ， x ≤ 0 ，x ， x ＞ 0.若 f ( x0) ＞ 1 ，則 x0的 取值范圍是 ( ) A ． ( － 1,1) B ． ( － 1 ，＋ ∞ ) C ． ( － ∞ ，－ 2) ∪ (0 ，＋ ∞ ) D ． ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) 解析 方法一 因為 f ( x 0 ) ＞ 1 ，當(dāng) x ≤ 0 時， － 1 ＞ 1, ＞ 2 ，－ x 0 ＞ 1 ， ∴ x 0 ＜－ 1 ；當(dāng) x 0 ＞ 0 時， ＞ 1 ，∴ x 0 ＞ 1. 綜上， x 0 的取值范圍為 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) 02 x?02 x? 210x21方法二 首先畫出函數(shù) y ＝ f ( x ) 與 y ＝ 1 的圖象 ( 如圖 ) ，解方程 f ( x ) ＝ 1 ，得 x ＝－ 1 ，或 x ＝ 1. 由圖中易得 f ( x 0 ) ＞ 1 時，所對應(yīng) x 0 的取值范圍為 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) ． 答案 D 3 ．定義在 R 上的偶函數(shù) y ＝ f ( x ) 滿足 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，當(dāng) x ∈ [ 3 , 4 ] 時， f ( x ) ＝ x － 2 ，則 ( ) A ． f ( si n12) f ( co s12) B ． f ( s i nπ3) f ( co sπ3) C ． f ( s i n 1 ) f ( co s 1 ) D ． f ( si n32) f ( co s32) 解析 由 f ( x ) ＝ f ( x ＋ 2) 知 T ＝ 2 為 f ( x ) 的一個周期，設(shè)x ∈ [ － 1 , 0 ] ，知 x ＋ 4 ∈ [ 3 , 4 ] ， f ( x ) ＝ f ( x ＋ 4) ＝ x ＋ 4 － 2 ＝ x＋ 2 ，畫出函數(shù) f ( x ) 的圖象， 如圖所示： si n12c o s12? f ( si n12) f ( co s12) ； si nπ3c o sπ3? f ( si nπ3) f ( co sπ3) ； si n 1 c o s 1 ? f ( si n 1 ) f ( co s 1 ) ； si n32c o s32? f ( si n32) f ( co s32) ．故選 C. C 4 ．已知直線 l 1 ： 4 x － 3 y ＋ 6 ＝ 0 和直線 l 2 ： x ＝－ 1 ，拋物 線 y2＝ 4 x 上一動點 P 到直線 l 1 和直線 l 2 的距離之和的最小值是 ( ) A ． 2 B ． 3 C .115 D .3716 解析 記拋物線 y2＝ 4 x 的焦點為 F ，則 F ( 1 , 0 ) ，注意到直線 l2： x ＝－ 1 是拋物線 y2＝ 4 x 的準(zhǔn)線，于是拋物線 y2＝ 4 x 上的 動點 P 到直線 l2的距離等于 | PF |，問題即 轉(zhuǎn)化為求拋物線 y2＝ 4 x 上的動點 P 到直線 l1： 4