【正文】 1 2 ) ． 答案 C 考題分析 本小題考查了分段函數(shù)的特征及性質(zhì)．考查了對數(shù)函數(shù)及其運算．重點考查了解決問題的方法即數(shù)形結(jié)合的思想方法．體現(xiàn)了對知識和能力的雙重考查． 易錯提醒 ( 1 ) 找不到問題解決的突破口．即想不到用數(shù)形結(jié)合． ( 2 ) f ( x ) 的圖象的特征不清，忽視對 ( 1 ,0 ) 和 ( 1 0 ,1 ) 這兩個特殊點的分析． ( 3 ) 不會借助圖形進行分析． 思想方法概述 1 ． 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含 “ 以形助數(shù) ” 和 “ 以數(shù) 輔形 ” 兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來 闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)． 2 ．運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原 則： ( 1 ) 等價性原則．在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞．有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng)． ( 2 ) 雙方性原則．既要進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯． ( 3 ) 簡 單性原則．不要為了 “ 數(shù)形結(jié)合 ” 而數(shù)形結(jié)合．具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線． 3 ．?dāng)?shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種： ( 1 ) 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍； ( 2 ) 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍； ( 3 ) 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合 其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系； ( 4 ) 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合 其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式； ( 5 ) 構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題； ( 6 ) 構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題； ( 7 ) 構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)； ( 8 ) 研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等． 4 ．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法 與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學(xué)習(xí)中加強這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度．具體操作時，應(yīng)注意以下幾點： ( 1 ) 準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域； ( 2 ) 用圖象法討論方程 ( 特別是含參數(shù)的方程 ) 的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式 ( 有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖 ) ，然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解． 5 ．在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做 到以下四點： ( 1 ) 要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征； ( 2 ) 要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化； ( 3 ) 要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏； ( 4 ) 精心聯(lián)想 “ 數(shù) ” 與 “ 形 ” ，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解． 很多數(shù)學(xué)概念都具有明顯的幾何意義，善于利用這些幾何意義，往往能收到事半功倍的效果． 熱點分類突破 題型一 數(shù)形結(jié)合思想在解決方程的根的個數(shù)、不等式解集的問題中的應(yīng)用 例 1 ( 1 ) 已知：函數(shù) f ( x ) 滿足下面關(guān)系． ① f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) ； ② 當(dāng) x ∈ [ － 1 , 1 ] 時， f ( x ) ＝ x2. 則方程 f ( x ) ＝ l g x 解的個數(shù)是 ( ) A ． 5 B ． 7 C ． 9 D ． 10 ( 2 ) 設(shè)奇函數(shù) f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)，且 f ( 1 ) ＝ 0 ，則不等式f ( x ) － f ( － x )x0 的解集為 ( ) A ． ( － 1 , 0 ) ∪ (1 ，＋ ∞ ) B ． ( － ∞ ，－ 1) ∪ ( 0 , 1 ) C ． ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) D ． ( － 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) 思維啟迪 ( 1 ) 在同一坐標(biāo)系中畫出 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ l g x 的圖象，由它們交點個數(shù)判斷方程的解的個數(shù)； ( 2 ) f ( x ) －f ( － x ) ＝ 2 f ( x ) ，畫出 y ＝ 2 f ( x ) 的大致圖象， f ( x ) 與 x 異號的區(qū)間，即為不等式的解集． 解析 ( 1 ) 由題意可知， f ( x ) 是以 2 為周期，值域為 [ 0 , 1 ]的函數(shù)． 又 f ( x ) ＝ l g x ，則 x ∈ ( 0 , 1 0 ] ，畫出兩函數(shù)圖象， 則交點個數(shù)即為解的個數(shù)．又 ∵ l g 1 0 ＝ 1 ，故當(dāng) x 1 0 時，無交點． ∴ 由圖象可知共 9 個交點． ( 2 ) ∵ f ( x ) 為奇函數(shù)， ∴ f ( x ) － f ( － x ) ＝ 2 f ( x ) 畫出 y ＝ 2 f ( x ) 的大致圖象． 如圖，則 f ( x ) 與 x 異號的區(qū)間 如圖陰影所示， ∴ 解集為 ( － 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) ，故選 D. 答案 ( 1 ) C ( 2 ) D 探究提高 ( 1 ) 用函數(shù)的圖象討論方程 ( 特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程 ) 的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式 ( 不熟悉時，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù) ) ，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)． ( 2 ) 解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€ ( 或多個 ) 函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn) 化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的 問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答． ( 3 ) 函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值 ( 值域 ) 經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點的縱坐標(biāo)． 變式訓(xùn)練 1 已知 f ( x ) 是定義在 ( － 3 , 3 ) 上的奇函數(shù)，當(dāng) 0 x 3 時， f ( x ) 的圖象如圖所示，那么不等式 f ( x ) c o s x 0的解集是 ( ) A ． ( － 3 ，－π2) ∪ ( 0 , 1 ) ∪ (π2， 3) B ． ( －π2，－ 1) ∪ ( 0 , 1 ) ∪ (π2， 3) C ． ( － 3 ，－ 1) ∪ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) D ． ( － 3 ，－π2) ∪ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) 解析 不等式 f ( x ) co s x 0 等價于 ????? f ( x ) 0 ，co s x 0 ，或????? f ( x ) 0 ，co s x 0 . 畫出 f ( x ) 在 ( － 3 , 3 ) 上的圖象， co s x 的圖象又熟知，運用數(shù)形結(jié)合，如圖所示，從 “ 形 ” 中找出圖象分別在 x 軸上、下部分的對應(yīng) “ 數(shù) ” 的區(qū)間為 ( －π2， － 1) ∪ ( 0 , 1 ) ∪ (π2， 3) ． B 題型二 數(shù)形結(jié)合思想在求參數(shù)、代數(shù)式的取值范圍、 最值問題中的應(yīng)用 例 2 已知 a 是實數(shù)，函數(shù) f ( x ) ＝ 2 a | x |＋ 2 x － a ，若函數(shù) y ＝ f ( x ) 有且僅有兩個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 思維啟迪 函數(shù)零點 → 方程的根 → 函數(shù)圖象交點 → 數(shù)形結(jié)合． 解析 易知 a ≠ 0 ， f ( x ) ＝ 0 ，即 2 a | x |＋ 2 x － a ＝ 0 ， 變形得 | x |－12 ＝－1a x ， 分別畫出函數(shù) y1＝ | x |－12， y2＝－1ax 的圖象 ( 如圖所示 ) ，由圖易知： 當(dāng) 0 －1a1 或－ 1 －1a0 時， y1和 y2的圖象有兩個不同的交點， ∴ 當(dāng) a － 1 或 a 1 時，函數(shù) y ＝ f ( x ) 有且僅有兩個零點， 即實數(shù) a 的取值范圍是 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) ． 答案 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) 探究提高 解決函數(shù)的零點問題，通常是轉(zhuǎn)化為方程的根，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點問題．在解決函數(shù)圖象的交點問題時，常用數(shù)形結(jié)合，以 “ 形 ” 助 “ 數(shù) ” ，直觀簡潔． 變式訓(xùn)練 2 ( 2 0 0 9 ( 3 ＋ 6 λ ， 2 － λ ) ＝ 0 ， ∴ λ ＝ 2 或 λ ＝－12，故選 B. B 2 ．已知向量 a ＝ ( 3,2) ， b ＝ ( － 6,1) ，而 ( λ a ＋ b ) ⊥ ( a － λ b ) ， 則實數(shù) λ 等于 ( ) A ． 1 或 2 B ． 2 或－12 C ． 2 D ． 0 3 ．方程 m ＋ 1 － x ＝ x 有解，則 m 的最大值為 ( ) A ． 1 B ． 0 C ．－ 1 D ．－ 2 解析 由原式 得 m ＝ x － 1 － x ， 設(shè) 1 － x ＝ t ( t ≥ 0) ， 則 m ＝ 1 － t2－ t ＝54－ ( t ＋12)2， ∴ m ＝54－ ( t ＋12)2在 [0 ，＋ ∞ ) 上是減函數(shù)， ∴ t ＝ 0 時， m 的最大值為 1. A 4 ． f ( x ) 是定義在 R 上的以 3 為周期的奇函數(shù)， f ( 2 ) ＝ 0 ， 則函數(shù) y ＝ f ( x ) 在區(qū)間 ( － 1 , 4 ) 內(nèi)的零點個數(shù)為 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 解析 ∵ f ( x ) 是定義在 R 上的奇函數(shù)， ∴ f ( 0 ) ＝ 0 . 由 f ( 2 ) ＝ 0 ，得 f ( － 2) ＝ 0. 又 ∵ f ( x ) 的周期為 3 ， ∴ f ( 1 ) ＝ 0 ， f ( 3 ) ＝ 0. 又 ∵ f ( －32) ＝ f ( －32＋ 3) ＝ f (32) ＝－ f (32) ， ∴ f (32) ＝ 0. 故選 D. D 5 ．已知對于任意的 a ∈ [ － 1 , 1 ] ，函數(shù) f ( x ) ＝ x2＋ ( a － 4) x ＋ 4 － 2 a 的值總大于 0 ，則 x 的取值范圍是 ( ) A ． 1 x 3 B ． x 1 或 x 3 C ． 1 x 2 D ． x 2 或 x 2 解析 將 f ( x ) ＝ x2＋ ( a － 4) x ＋ 4 － 2 a 看作是 a 的一次函數(shù)，記為 g ( a ) ＝ ( x － 2) a ＋ x2－ 4 x ＋ 4. 當(dāng) a ∈ [ － 1 , 1 ] 時恒有 g ( a ) 0 ，只需滿足條件 ????? g ( 1 ) 0 ，g ( － 1 ) 0 ， 即????? x2－ 3 x ＋ 2 0 ，x2－ 5 x ＋ 6 0 ， 解之得 x 1 或 x 3 . B 二、填空題 6 ．已知 θ ∈ R ，若 x2－ (4 － co s θ ) x ＋ 3 － co s θ 0 恒成立， 則實數(shù) x 的取值范圍是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 原不等式可化為： co s θ ( x － 1) ＋ x2－ 4 x ＋ 3 0 . 令 t ＝ co s θ ，則 t ∈ [ － 1 , 1 ] 且 t ( x － 1) ＋ x2－ 4 x ＋ 3 0 ， 即 f ( t ) ＝ t ( x － 1) ＋ x2－ 4 x ＋ 3 在 [ － 1 , 1 ] 上