【正文】 ≤12或 a ≥ 2. 故填：－ 3 ≤ a ≤12或 a ≥ 2. － 3 ≤ a ≤ 12 或 a ≥ 2 失分點 4 函數(shù)概念不清致誤 例 4 已知函數(shù) f ( x2－ 3) ＝ lgx2x2－ 4，求 f ( x ) 的定義域． 錯解 由x2x2－ 40 ， 得 x 2 或 x － 2. ∴ 函數(shù) f ( x ) 的定義域為 { x | x 2 或 x － 2} ． 找準(zhǔn)失分點 錯把 lgx 2x 2 － 4 的定義域當(dāng)成了 f ( x ) 的定義域． 失分原因與防范措施 失分的原因是將 f( x2 3) 與 f( x ) 的定義域等同起來了 . 事實上， f( x2 3 ) = 與 f( x ) 是兩個不同的函數(shù)，它們有不同的法則和定義域，造成錯誤的原因是未弄清函數(shù)的概念 . 求函數(shù)定義域，首先應(yīng)弄清函數(shù)的特征或解析式，可避免出錯 . 422?xx正解 由 f ( x2－ 3) ＝ lgx2x2－ 4， 設(shè) x2－ 3 ＝ t ，則 x2＝ t ＋ 3 ， 因此 f ( t ) ＝ lgt ＋ 3t － 1. ∵x2x2－ 40 ，即 x24 ， ∴ t ＋ 3 4 ，即 t 1 . ∴ f ( x ) 的定義域為 { x | x 1 } ． 變式訓(xùn)練 4 已知 g ( x ) ＝ 1 － 2 x ， f [ g ( x )] ＝1 － x2x2 ( x ≠ 0) ， 那么 f ( 2 ) 的值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 令 g ( x ) ＝ 1 － 2 x ＝ 2 ， ∴ x ＝－12， ∴ f ( 2 ) ＝ f [ g ( －12)] ＝1 －1414＝ 3 . 3 失分點 5 忽視函數(shù)的定義域致誤 例 5 已知 f ( x ) ＝ 2 ＋ l o g 3 x (1 ≤ x ≤ 9) ，求函數(shù) y ＝ [ f ( x )]2 ＋ f ( x2) 的最大值． 錯解 y ＝ [ f ( x )]2＋ f ( x2) ＝ (2 ＋ l o g 3 x )2＋ 2 ＋ l o g 3 x2， ∴ y ＝ ( l o g 3 x )2＋ 6 l o g 3 x ＋ 6 ＝ ( l o g 3 x ＋ 3)2－ 3. ∵ 1 ≤ x ≤ 9 ， ∴ 0 ≤ l o g 3 x 2 ， 故當(dāng) x ＝ 9 ，即 l o g 3 x ＝ 2 時， y 取最大值為 22. 找準(zhǔn)失分點 忽視了 y ＝ [ f ( x )] 2 ＋ f ( x 2 ) 的定義域：{ x |1 ≤ x ≤ 3} ． 失分原因與防范措施 本題錯誤的原因在于沒有注意到函數(shù) y = ［ f( x ) ］2+ f( x2) 的定義域的變化 . 誤以為函數(shù)y = ［ f( x ) ］2+ f( x2) 的定義域就是 f( x ) 的定義域 . 在解決有關(guān)函數(shù)的問題時，首先應(yīng)考慮函數(shù)的定義域，這是一條基本原則 . 正解 ∵ f ( x ) 的定義域為 [ 1 , 9 ] ， ∴ 要使函數(shù) y ＝ [ f ( x )]2＋ f ( x2) 有 意 義 ， 必 須 有????? 1 ≤ x2≤ 9 ，1 ≤ x ≤ 9. ∴ 1 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ l o g3x ≤ 1. 設(shè) t ＝ l o g3x ，則 t ∈ [ 0 , 1 ] ， ∴ y ＝ [ f ( x )]2＋ f ( x2) ＝ (2 ＋ l o g3x )2＋ 2 ＋ l o g3x2 ＝ ( l o g3x )2＋ 4 l o g3x ＋ 4 ＋ 2 ＋ 2 l o g3x ＝ ( l o g3x )2＋ 6 l o g3x ＋ 6 ＝ t2＋ 6 t ＋ 6 ( 0 ≤ t ≤ 1) ． 對稱軸為直線 t ＝－ 3 ，在區(qū)間 [ 0 , 1 ] 的左側(cè)． ∴ 函數(shù)在 t ∈ [ 0 , 1 ] 上單調(diào)遞增． 當(dāng) t ＝ 1 時， ym ax＝ 1 ＋ 6 ＋ 6 ＝ 1 3 . 變式訓(xùn)練 5 函數(shù) f ( x ) ＝ l o g 4 (7 ＋ 6 x － x 2 ) 的單調(diào)遞增區(qū)間 是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解 設(shè) y ＝ l o g4u ， u ＝－ x2＋ 6 x ＋ 7 ， 則二次函數(shù) u ＝－ x2＋ 6 x ＋ 7 在 ( － ∞ ， 3] 上為增函數(shù)， 在 [3 ，＋ ∞ ) 上為減函數(shù)． 又 y ＝ l o g4u 是增函數(shù)，函數(shù) f ( x ) ＝ l o g4(7 ＋ 6 x － x2) 的定義域是 ( － 1 , 7 ) ， 故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為( － 1 , 3 ] ． (－ 1 ,3 ] 失分點 6 混淆 “ 切點 ” 致誤 例 6 求過曲線 y ＝ x 3 － 2 x 上的點 (1 ，－ 1) 的切線方程． 錯解 ∵ y ′ ＝ 3 x 2 － 2 ， ∴ k ＝ y ′ | x ＝ 1 ＝ 3 1 2 － 2 ＝ 1 ， ∴ 切線方程為： y ＋ 1 ＝ x － 1 即 x － y － 2 ＝ 0. 找準(zhǔn)失分點 錯把 (1 ，－ 1) 當(dāng)切點． 失分原因與防范措施 過曲線上的點（ 1 ， 1 ）的切線與曲線的切點可能是（ 1 ， 1 ），也可能不是（ 1 ， 1 ） . 本題錯誤的根本原因就是把（ 1 ， 1 ）當(dāng)成了切點 . 解決這類題目時，一定要注意區(qū)分“過點 A （ x 0 , y 0 ）的切線方程”與“在點 A 處的切線方程”的不同 . 雖只有一字之差，意義完全不同，“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不一定是切點 . 正解 設(shè) P ( x0， y0) 為切點，則切線的斜率為 y ′ | ＝ 3 x20－ 2. ∴ 切線方程為 y － y0＝ (3 x20－ 2 ) ( x － x0) ，即 y － ( x30－ 2 x0) ＝ (3 x20－ 2 ) ( x － x0) ． 又知切線過點 (1 ，－ 1) ，把它代入上述方程，得 － 1 － ( x30－ 2 x0) ＝ (3 x20－ 2 ) ( 1 － x0) ， 整理，得 ( x0－ 1)2(2 x0＋ 1) ＝ 0 ， 解得 x0＝ 1 ，或 x0＝－12. 故所求切線方程為 y － (1 － 2) ＝ (3 － 2 ) ( x － 1) ，或 y － ( －18＋ 1) ＝ (34－ 2 ) ( x ＋12) ， 即 x － y － 2 ＝ 0 ，或 5 x ＋ 4 y － 1 ＝ 0. 0xx?變式訓(xùn)練 6 曲線 C ： y ＝ 3 x － x3過點 A (2 ，－ 2) 的切線 方程是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 設(shè)切點為 P ( x0， y0) ， f ′ ( x ) ＝ 3 － 3 x2. 則 P 點處的切線方程為 y － y0＝ f ′ ( x0)( x － x0) ， 即 y － (3 x0－ x30) ＝ (3 － 3 x20)( x － x0) ． ∵ 點 A (2 ，－ 2) 在切線上， ∴ － 2 － 3 x0＋ x30＝ (3 － 3 x20)(2 － x0) ， 解得 x0＝ 2 或 x0＝－ 1. ∴ 過點 A (2 ，－ 2) 的切線方程分別為 y ＋ 2 ＝－ 9( x － 2) 或y ＋ 2 ＝ 0 ， 化簡得 9 x ＋ y － 16 ＝ 0 或 y ＋ 2 ＝ 0. 9 x ＋ y － 16 ＝ 0 或 y ＋ 2 ＝ 0 失分點 7 極值點概念不清致誤 例 7 已知 f ( x ) ＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ a2在 x ＝ 1 處有極值為 10 ，則 a ＋ b ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 錯解 － 7 或 0 找準(zhǔn)失分點 x ＝ 1 是 f ( x ) 的極值點 ? f ′ ( 1 ) ＝ 0 ； 忽視了 “ f ′ ( 1 ) ＝ 0 ? x ＝ 1 是 f ( x ) 的極值點 ” 的情況． 失分原因與防范措施 “函數(shù) y = f( x ) 在 x = x 0 處的導(dǎo)數(shù)值為0 ”是“函數(shù) y = f( x ) 在點 x = x 0 處取極值”的必要條件，而非充分條件，但解題中卻把“可導(dǎo)函數(shù) f( x ) 在 x = x 0 處取極值”的必要條件誤作充要條件 . 對于可導(dǎo)函數(shù) f( x ): x 0 是極值點的充要條件是 x 0 點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，即若 f′ ( x ) 在方程 f′ ( x ) = 0 的根 x 0 的左右的符號：“左正右負(fù)” f( x ) 在 x 0 處取極大值；“左負(fù)右正”f( x ) 在 x 0 處取極小值，而不僅是 f′ ( x 0 ) = 0 . f′ ( x 0 ) =0 是x 0 為極值點的必要而不充分條件 . 對于給出函數(shù)極大（?。┲档臈l件，一定要既考慮 f′ ( x 0 )=0 ，又考慮檢驗“左正右負(fù)”（“左負(fù)右正”）的轉(zhuǎn)化，否則易產(chǎn)生增根 . 正解 f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 ax ＋ b ，由 x ＝ 1 時，函數(shù)取得極值 10 ，得 ????? f ′ ( 1 ) ＝ 3 ＋ 2 a ＋ b ＝ 0 ， ①f ( 1 ) ＝ 1 ＋ a ＋ b ＋ a2＝ 10 ， 聯(lián)立 ①② 得????? a ＝ 4 ，b ＝－ 11 ，或????? a ＝－ 3 ，b ＝ 3. 當(dāng) a ＝ 4 ， b ＝－ 11 時， f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 8 x － 11 ＝ (3 x ＋ 1 1 ) ( x － 1)在 x ＝ 1 兩側(cè)的符號相反，符合題意． 當(dāng) a ＝－ 3 ， b ＝ 3 時， f ′ ( x ) ＝ 3( x － 1)2在 x ＝ 1 兩側(cè)的符號相同，所以 a ＝－ 3 ， b ＝ 3 不符合題意，舍去． 綜上可知 a ＝ 4 ， b ＝－ 11 ， ∴ a ＋ b ＝－ 7. ② 變式訓(xùn)練 7 已 知 函數(shù) f ( x ) ＝x44＋b3x3－2 ＋ a2x2＋ 2 ax 在點 x ＝ 1 處取極值，且函數(shù) g ( x ) ＝x44＋b3x3－a － 12x2－ ax 在區(qū)間 ( a － 6 , 2 a － 3) 上是減函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍． 解 f ′ ( x ) ＝ x3＋ bx2－ (2 ＋ a ) x ＋ 2 a ， 由 f ′ ( 1 ) ＝ 0 ，得 b ＝ 1 － a ， 當(dāng) b ＝ 1 － a 時， f ′ ( x ) ＝ x3＋ (1 － a ) x2－ (2 ＋ a ) x ＋ 2 a ＝ ( x － 1 ) ( x ＋ 2 ) ( x － a ) ， 如果 a ＝ 1 ，那么 x ＝ 1 就只是導(dǎo)函數(shù)值為 0 的點而非極值點，故 b ＝ 1 － a 且 a ≠ 1. g ′ ( x ) ＝ x3＋ bx2－ ( a － 1) x － a ＝ x3＋ (1 － a ) x2－ ( a － 1) x － a ＝ ( x－ a )( x2＋ x ＋ 1) ． 當(dāng) x a 時， g ′ ( x ) 0 ， g ( x ) 在 ( － ∞ ， a ) 上單調(diào)遞減， ∴ ( a － 6 , 2 a － 3) ? ( － ∞ ， a ) ， ∴ a － 6 2 a － 3 ≤ a ， 故所求 a 的范圍為－ 3 a ≤ 3. 綜上可知 a 的取值范圍應(yīng)為－ 3 a ≤ 3 且 a ≠ 1. 失分點 8 導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系理解不準(zhǔn)致誤 例 8 已 知 f ( x ) ＝2 x2＋ a