【正文】 浙江 ) 已知 m 1 ，直線 l ： x － my －m22＝ 0 ，橢圓 C ：x2m2 ＋ y2＝ 1 ， F F2分別為橢圓 C 的左、右 焦點(diǎn)． ( 1 ) 當(dāng)直線 l 過右焦點(diǎn) F2時(shí)，求直線 l 的方程； ( 2 ) 設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A ， B 兩點(diǎn)， △ AF1F2， △ BF1F2的重心分別為 G ， H . 若原點(diǎn) O 在以線段 GH 為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍． 解 ( 1 ) ∵ 直線 l ： x － my －m22＝ 0 經(jīng)過 F2( m2－ 1 ， 0) ， ∴ m2－ 1 ＝m22，得 m2＝ 2. 又 ∵ m 1 ， ∴ m ＝ 2 . 故直線 l 的方程為 x － 2 y － 1 ＝ 0. ( 2 ) 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 由????? x ＝ my ＋m22，x2m2 ＋ y2＝ 1 ，消去 x 得 2 y2＋ my ＋m24－ 1 ＝ 0 ， 則由 Δ ＝ m2－ 8(m24－ 1) ＝－ m2＋ 8 0 ， 知 m28 ，且有 y1＋ y2＝－m2， y1y2＝m28－12. 由于 F1( － c, 0) ， F2( c, 0) ，故 O 為 F1F2的中點(diǎn)． 由 G 、 H 分別為 △ AF1F △ BF1F2的重心， 可知 G (x13，y13) ， H (x23，y23) ， | GH |2＝( x1－ x2)29＋( y1－ y2)29. 設(shè) M 是 GH 的中點(diǎn)，則 M (x1＋ x26，y1＋ y26) ， 由題意可知， 2| MO | | GH |， 即 4 [ (x1＋ x26)2＋ (y1＋ y26)2]( x1－ x2)29＋( y1－ y2)29， 即 x1x2＋ y1y2 0 . 而 x1x2＋ y1y2＝ ( my1＋m22)( my2＋m22) ＋ y1y2 ＝ ( m2＋ 1 ) (m28－12) ， ∴m28－120 ，即 m24 . 又 ∵ m 1 且 Δ 0 ， ∴ 1 m 2 . ∴ m 的取值范圍是 ( 1 , 2 ) ． 考題分析 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．體現(xiàn)了待定系數(shù)法和運(yùn)用解方程組研究有關(guān)參數(shù)問題的思想方法，即方程的思想方法． 易錯提醒 ( 1 ) 利用待定系數(shù)法求方程時(shí)，出現(xiàn)計(jì)算錯誤． ( 2 ) 直線 l 與橢圓 C 相交，在聯(lián)立方程解方程組時(shí)，考生易忽略判別式大于 0. ( 3 ) 無法實(shí)現(xiàn)將 “ O 在以線段 GH 為直徑的圓內(nèi) ” 轉(zhuǎn)化為代數(shù)式．缺乏轉(zhuǎn)化的方向感． 主干知識梳理 1 ．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 ( 1 ) 直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法： 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程．若 Δ 0 ，則直線與橢圓相交；若 Δ ＝ 0 ，則直線與橢圓相切；若 Δ 0 ，則直線與橢圓相離． ( 2 ) 直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法： 將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去 y ( 或 x ) ，得到一個一元方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0( 或 ay2＋ by ＋ c ＝ 0) ． ① 若 a ≠ 0 ，當(dāng) Δ 0 時(shí)，直線與雙曲線相交；當(dāng) Δ ＝ 0時(shí)，直線與雙曲線相切；當(dāng) Δ 0 時(shí)，直線與雙曲線相離． ② 若 a ＝ 0 時(shí)，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個 點(diǎn)． ( 3 ) 直線與拋物線的。4 ,0 ) 3 x 177。 3 x ， 化為一般式為 3 x 177。 4 , 0 ) ， 漸近線方程為 y ＝ 177。浙江） 已知橢圓 ( a b 0 ) 的左焦點(diǎn) 為 F ，右頂點(diǎn)為 A ，點(diǎn) B 在橢圓上，且 BF ⊥ x 軸，直 線 AB 交 y 軸于點(diǎn) P . 若 ，則橢圓的離心率 是 （ ） 12222 ?? byaxPBAP 2?解析 如圖，由于 BF ⊥ x 軸，故 x B = c , y B = 設(shè) P （ 0, t） , ,2ab,2 PBAP ??∴ ( － a ， t ) ＝ 2????????－ c ，b2a－ t ， ∴ a ＝ 2 c ， ∴ e ＝ca＝12. D 23223 ．若拋物線 y2＝ 2 px 的焦點(diǎn)與橢圓x26＋y22＝ 1 的右焦點(diǎn) 重合，則 p 的值為 ( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－ 4 D ． 4 解析 橢圓x26＋y22＝ 1 的右焦點(diǎn)為 ( 2 , 0 ) ，所以拋物線 y2＝ 2 px 的焦點(diǎn)為 ( 2 ,0 ) ，則 p ＝ 4. D 4 ．兩個正數(shù) a 、 b 的等差中項(xiàng)是52，一個等比中項(xiàng)是 6 ， 且 a b ，則雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 的離心率 e 等于 ( ) A.33 B.152 C. 13 D.133 解析 由題意得： a ＋ b ＝ 5 ， ab ＝ 6 ，又 a b ， 所以 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ，即 c2＝ 13 ，故 e ＝ca＝133， 所以選 D. D 5. 設(shè) F 1 、 F 2 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn) P 在雙曲線上，且 則 等于 （ ） A. 10 B ． 2 10 C. 5 D ． 2 5 1922 ?? yx,021 ?? PFPF || 21 PFPF ?解析 如圖，由 可得 ， 又 由向量加法的平行四邊形法則可知 ? PF 1 QF 2 為 矩形，因?yàn)榫匦蔚膶蔷€相等，故有 ＝ 2 c ＝ 2 10 ， 所以選 B. ,021 ?? PFPF 21 PFPF ?|| 21 PFPF ?|| PQ?B 二、填空題 6 ．直線 y ＝ x － 3 與拋物線 y2＝ 4 x 交于 A 、 B 兩點(diǎn)，過 A 、 B 兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為 P 、 Q ， 則梯形 APQ B 的面積為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 拋物線的準(zhǔn)線方程為 x ＝－ 1. 聯(lián)立????? y2＝ 4 x ，y ＝ x － 3 ， 解得 A (1 ，－ 2) ， B ( 9 , 6 ) ． 則 | AP |＝ 2 ， | BQ |＝ 10 ， | PQ |＝ 8 ， S 梯形 ＝( 2 ＋ 10 ) 82＝ 4 8 . 48 7 ． ( 2 0 1 0 4 73( － 4 ≤ x ≤ 4) ． 軌跡是兩條平行于 x 軸的線段． ② 當(dāng) λ ≠34時(shí)，方程變形為x21 1 216 λ2－ 9＋y21 1 216 λ2＝ 1 ， 其中 x ∈ [ － 4 , 4 ] ． 當(dāng) 0 λ 34時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在 y 軸上的雙曲線滿足－ 4 ≤ x ≤ 4 的部分； 當(dāng)34 λ 1 時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在 x 軸上的橢圓滿足－ 4 ≤ x ≤ 4 的部分； 當(dāng) λ ≥ 1 時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)，長軸在 x 軸上的橢圓． 探究提高 ( 1 ) 求軌跡方程時(shí)，先看軌跡的形狀能否預(yù)知，若能預(yù)先知道軌跡為圓錐曲線，則可考慮用定義法求解或用待定系數(shù)法求解． ( 2 ) 討論軌跡方程的解與軌跡上的點(diǎn)是否對應(yīng)，即應(yīng)注意字母的取值范圍． 變式訓(xùn)練 3 已知圓 F 1 ： ( x ＋ 1)2＋ y2＝14，圓 F 2 ： ( x － 1)2 ＋ y2＝494，動圓 M 與圓 F 1 、 F 2 都相切． ( 1 ) 求動圓圓心的軌跡 C 的方程； （ 2 ）已知點(diǎn) A （ 2 ， 0 ），過點(diǎn) F 2 作直線 l 與軌跡 C 交 于 P ， Q 兩點(diǎn)，求 的取值范圍 . AQAP?解 ( 1 ) 設(shè)動圓圓心為 M ( x ， y ) ，圓 M 的半徑為 r ， 則 | MF 1 |＝ r ＋12， | MF 2 |＝72－ r ， ∴ | MF 1 |＋ | MF 2 |＝ 4. 則動圓圓心 M 的軌跡 C 為以 F 1 ( － 1 , 0 ) ， F 2 ( 1 , 0 ) 為焦點(diǎn)的橢圓． 由 2 a ＝ 4 ，得 a ＝ 2 ，又 c ＝ 1 ， ∴ b2＝ 3 ， 故軌跡 C 的方程為x24＋y23＝ 1 . ( 2) ∵ F2在曲線 C 內(nèi)部， ∴ 過 F2的直線與曲線 C 恒有兩個公共點(diǎn)． ① 當(dāng) l 與 x 軸重合時(shí)，點(diǎn) P 或點(diǎn) Q 有一個與點(diǎn) A 重合， ②當(dāng) l⊥ x 軸時(shí) ， ③ 當(dāng) l 與 x 軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè) l ： y ＝ k ( x － 1) ， P ( x1， y1) ， Q ( x2， y2) ． 由????? y ＝ k ( x － 1 ) ，x24＋y23＝ 1 ，整理，得 (4 k2＋ 3) x2－ 8 k2x ＋ 4 k2－ 12＝ 0. .0??? AQAP),23,3(),23,1(),23,1( ?? APQP.427499),23,3( ??????? AQAPAQΔ ＝ 1 4 4 k2＋ 1 4 4 0 恒成立． ∴ x1＋ x2＝8 k24 k2＋ 3， x1x2＝4 k2－ 124 k2＋ 3. ＝ ( x1＋ 2 ， y1) 2 145. ),(),2( 0110 yyxQByQA ?????)(2 0101 yyyxQBQA ?????題型三 求曲線的方程問題 例 3 ( 2 0 0 9 2 145. 綜上， y0＝ 177。2 2 . ② 當(dāng) k ≠ 0 時(shí)，線段 AB 的垂直平分線的方程為 y －2 k1 ＋ 4 k2＝－1k( x ＋8 k21 ＋ 4 k2) ． ).,2(),2( 00 yQByQA ????? ,4??QBQA令 x ＝ 0 ，解得 y0＝－6 k1 ＋ 4 k2. 由 ＝－ 2 ( 2 － 8 k2)1 ＋ 4 k2＋6 k1 ＋ 4 k2(4 k1 ＋ 4 k2＋6 k1 ＋ 4 k2) ＝4 ( 16 k4＋ 15 k2－ 1 )( 1 ＋ 4 k2)2＝ 4 ， 整理得 7 k2＝ 2 ，故 k ＝ 177。| y1－ y2|＝4 3 c25＝ 20 3 ， c2＝ 25 ， 因此 a2＝ 50 ， b2＝ 25 ， 所以橢圓方程為x250＋y225＝ 1. QPFS 2?探究提高 ( 1 ) 求離心率，結(jié)合