高一數(shù)學(xué)函數(shù)的最值(參考版)
2024-11-14 12:26本頁面
【正文】 a2(2 a ＋ a ) －12(2 a － x )2 ＝3 a24－12(4 a2－ 4 ax ＋ x2) ＝－12x2＋ 2 ax －5 a24 ??????32a x ≤ 2 a . ? *[例 5] (1)設(shè)函數(shù) f(x)＝ x2－ 2x＋ 2(其中x∈ [t， t＋ 1]， t∈ R)的最小值為 g(t)， 求 g(t)的表達(dá)式； ? (2)求 f(x)＝ x2－ 2ax－ 1在區(qū)間 [0,2]上的最大值和最小值 ． ? [分析 ] 二次函數(shù)在閉區(qū)間 [m， n]上既有最大值 ， 也有最小值 ． 一種情形是不含參數(shù) ， 可直接由對(duì)稱軸及開口方向確定在 [m，n]上的單調(diào)情況而得出結(jié)論； ? 一種情形是軸定區(qū)間動(dòng)，如本例 (1)，這時(shí)需分閉區(qū)間在軸左邊、右邊和包含軸三種情形討論；一種情形是軸動(dòng)區(qū)間定，如本例 (2)，同樣分以上三種情形討論 (軸與區(qū)間都含參數(shù)的情況我們不作要求 )解決這一類問題的方法都是借助圖象，結(jié)合單調(diào)性，考察參數(shù)在三種情形下的變化而得出結(jié)論． ? [解析 ] (1)f(x)＝ x2－ 2x＋ 2＝ (x－ 1)2＋ 1， ? ① 當(dāng) t＋ 1≤1， 即 t≤0時(shí) ， f(x)在 [t， t＋ 1]上單調(diào)減 ， ? ∴ g(t)＝ f(t＋ 1)＝ t2＋ 1； ? ② 當(dāng) t≤1＜ t＋ 1， 即 0＜ t≤1時(shí) ， f(x)在頂點(diǎn)處取最小值 ， ? ∴ g(t)＝ f(1)＝ 1(見下圖 )； ? ③ 當(dāng) t＞ 1時(shí) ， f(x)在 [t， t＋ 1]上單調(diào)增 ， ? ∴ g(t)＝ f(t)＝ t2－ 2t＋ 2. ? 綜上可知 ， g ( t ) ＝????? t2＋ 1 ( t ≤ 0 ) ，1 ( 0 ＜ t ≤ 1 )t2－ 2 t ＋ 2 ( t ＞ 1 ) . ? (2)f(x)＝ (x－ a)2－ 1－ a2， 對(duì)稱軸為 x＝ a. ? ① 當(dāng) a＜ 0時(shí) ， 由下圖可知 ， f(x)在 [0,2]上單調(diào)增 ， ? ∴ f(x)min＝ f(0)＝－ 1， ? f(x)max＝ f(2)＝ 3－ 4a. ? ② 當(dāng) 0≤a＜ 1時(shí) ， 由下圖可知 ， f(x)在 [0， a]上單減 ， 在 [a,2]上單增 ， 且 2－ aa－ 0， ? ∴ f(x)min＝ f(a)＝－ 1－ a2， ? f(x)max＝ f(2)＝ 3－ 4a. ? ③ 當(dāng) 1＜ a≤2時(shí) ， 由下圖可知 ， f(x)在 [0， a]上單減在 [a,2]上單增 ， 且 2－ aa－ 0， ? ∴ f(x)min＝ f(a)＝－ 1－ a2， f(x)max＝ f(0)＝－1. ? ④ 當(dāng) a＞ 2時(shí) ， 由下圖可知 ， f(x) 在 [0,2]上遞減 ， ? ∴ f(x)min＝ f(2)＝ 3－ 4a， f(x)max＝ f(0)＝－ 1. ? 總結(jié)評(píng)述： (1)從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看 ， 令區(qū)間 [t， t＋ 1]從左向右沿 x軸正方向運(yùn)動(dòng) ，截取拋物線上的相應(yīng)部分 ． 共截取三種類型：減函數(shù)部分 、 包含頂點(diǎn)部分 ， 增函數(shù)部分 ． 初學(xué)這種類型的題目時(shí) ， 要對(duì)應(yīng)三種情況畫三個(gè)圖象 ， 使問題顯得直觀清晰 ，隨著學(xué)習(xí)的深入 ， 能力得到提高了 ， 可以只畫一個(gè)圖形就行了 ． ? (2)對(duì)于例 5(2) ? ① 由于對(duì)稱軸是 x＝ a， 而 a取何值呢 ？ 導(dǎo)致了分類討論 ． ? ② 不是應(yīng)該分 a＜ 0,0≤a≤2， a＞ 2三種情況討論嗎？為什么成了四種情況？因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸在區(qū)間 [0,2]所對(duì)應(yīng)的區(qū)域時(shí)，最小值是在頂點(diǎn)處取得，但最大值卻有可能是 f(0)，還有可能是 f(2)，離對(duì)稱軸遠(yuǎn)的較大，開口向下時(shí)恰好相反．注意總結(jié)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖象開口向上，故頂點(diǎn)處一定不是最大值點(diǎn)，因此若只求最大值時(shí)，一定是 f(0)或 f(2).0與 2哪個(gè)距離對(duì)稱軸 x＝ a遠(yuǎn)，哪個(gè)大，故只須按 a≤1與 a1討論即可． ? ③ 習(xí)慣上，最大值用符號(hào) f(x)max表示，最小值用符號(hào) f(x)min表示 . ? (1)求證 f(x)在 R上是減函數(shù)； ? (2)求 f(x)在 [－ 3,3]上的最大值及最小值 ． ? [分析 ] 欲證 (1)中 f(x)為減函數(shù) ， 依定義 ，對(duì) x1＜ x2必須證出 f(x2)－ f(x1)＜ 性求 f(x)在 [－ 3,3]上的最值 ， 而將條件 x0時(shí) ， f(x)0轉(zhuǎn)化為 x2－ x10時(shí) ， f(x2－ x1)0是本題的關(guān)鍵 ． *[ 例 6] 已知函數(shù) f ( x ) 對(duì)任意 x ， y ∈ R ，總有 f ( x ) ＋ f ( y )＝ f ( x ＋ y ) ，且當(dāng) x ＞ 0 時(shí)， f ( x ) ＜ 0 ， f ( 1) ＝－23. ? [解析 ] (1)∵ f(0)＋ f(0)＝ f(0)， ∴ f(0)＝ 0 ? 又 f(x)＋ f(－ x)＝ f(x－ x)＝ f(0) ? ∴ f(－ x)＝－ f(x) ? 設(shè)－ ∞＜ x1＜ x2＜＋ ∞， 則 ? f(x2)－ f(x1)＝ f(x2)＋ f(－ x1)＝ f(x2－ x1) ? ∵ x2－ x1＞ 0， 據(jù)題意有 f(x2－ x1)＜ 0 ? ∴ f(x2)－ f(x1)＜ 0， 即 f(x2)＜ f(x1) ? ∴ y＝ f(x)在 R上是減函數(shù) ． ( 2) 由 ( 1) 知， f ( x ) 在 [ － 3,3 ] 上遞減， ∴ f ( － 3) 最大， f ( 3) 最小，而 f ( 3) ＝ f (2 ) ＋ f ( 1) ＝ f ( 1 ) ＋ f ( 1 ) ＋ f ( 1 ) ＝ 3
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1