高一數(shù)學(xué)函數(shù)的最值-在線瀏覽
2025-01-13 12:26本頁(yè)面
【正文】 (n)． ? 3． 單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì) ， 應(yīng)用它可以解決許多函數(shù)問(wèn)題 ． 如判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值 、 最小值；求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用函數(shù)單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小等 ． ? 4． 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間討論 ． ? (1)單調(diào)性定義中 x1， x2的三個(gè)特征：一是任意性 ， 即 “ 任意取 x1， x2” ， “ 任意 ” 二字決不能丟掉 ， 證明單調(diào)性時(shí)更不可隨意以兩個(gè)特殊值替換；二是有大小 ， 通常規(guī)定 x1＜ x2；三是同屬一個(gè)區(qū)間 ． 三者缺一不可 ． 寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)有定義的一般寫成閉區(qū)間，區(qū)間端點(diǎn)無(wú)定義的 必須 ． ． 寫成開區(qū)間． ? (2)由增函數(shù) (或減函數(shù) )的定義可以得出 (以增函數(shù)為例 )： ? 這兩個(gè)結(jié)果對(duì)于讀者深入理解單調(diào)函數(shù)及其性質(zhì)是有益的．①可由函數(shù)值大小比較自變量的大?。诳捎勺宰兞看笮〉贸龊瘮?shù)值的大?。? ?????① f ( x ) 在 I 上單調(diào)增，任意的 x 1 、 x 2 ∈ I ，且 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )? x 1 ＜ x 2 . ?????② f ( x ) 在 I 上單調(diào)增，任意的 x 1 、 x 2 ∈ I ，且 x 1 ＜ x 2 ，? f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ) ． ? 5． 二次函數(shù)在閉區(qū)間上必定有最大值和最小值 ， 它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取得 ． ? 對(duì)于二次函數(shù) f(x)＝ a(x－ h)2＋ k (a＞ 0)在區(qū)間 [m， n]上最值問(wèn)題 ， 有以下結(jié)論： ? ① 若 h∈ [m， n]， 則 ymin＝ f(h)＝ k， ymax＝max{f(m)， f(n)} ? ② 若 h?[m， n]， 則 ymin＝ min{f(m)， f(n)}，ymax＝ max{f(m)， f(n)}(a＜ 0時(shí)可仿此討論 )． ? [例 1] 設(shè)函數(shù) f(x)是 (－ ∞，＋ ∞)上的減函數(shù)，則 ( ) ? A． f(a)＜ f(2a) ? B． f(a2)＜ f(a) ? C． f(a2＋ a)＜ f(a) ? D． f(a2＋ 1)＜ f(a) ? [分析 ] 由減函數(shù)的定義可知 ， 只須比較各組函數(shù)值的自變量的大小 ． ? ∴ a2＋ 1＞ a ? 又 ∵ f(x)在 (－ ∞， ＋ ∞)上為減函數(shù) ， ? ∴ f(a2＋ 1)＜ f(a)成立 ， 故選 D. [ 解析 ] ∵ a 2 ＋ 1 － a ＝ ( a － 12 ) 2 ＋ 34 ≥ 34 ＞ 0 ， ? 總結(jié)評(píng)述： (1)本題為選擇題 ， 故還可用排除法解之 ， 如令 a＝ 1， 則有 f(a)＞ f(2a)，f(a2)＝ f(a)， 可排除 A、 B， 令 a＝ 0可排除 C. ? (2)此類問(wèn)題的解法依據(jù)是增函數(shù) 、 減函數(shù)的定義 ． 即若 f(x)在區(qū)間 I上具有單調(diào)性 ，則欲比較 f(x2)與 f(x1)的大小 ， (x1， x2∈ I)，則只須比較 x1與 x2的大小 ． ? 因此 ， 比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小時(shí) ， 我們可將這兩個(gè)實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)值 ， 再利用單調(diào)性比較大小 ． ? 若函數(shù) y ＝ f(x)在 R上單調(diào)遞增 ， 且有f(a2)f(－ a)， 則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 ( ) ? A． (－ ∞， － 1) B． (－ ∞， － 1)∪ (0，＋ ∞) ? C． (0， ＋ ∞) D． (－ 1,0) ? [答案 ] B [ 解析 ] 由條件知， a2 － a ， ∴ a ( a ＋ 1) 0 ， ∴????? a 0a ＋ 1 0或????? a 0a ＋ 1 0， ∴ a 0 或 a － 1 ，故選 B. ? [例 2] 畫出下列函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： ( 1) y ＝ x ＋ 2 ； ( 2) y ＝ x2－ 2| x |＋ 3 ； ( 3) y ＝x ＋ 1x － 1. [ 分析 ] ( 1) 和 ( 2) 題先去掉絕對(duì)值符號(hào)，用分段函數(shù)表達(dá)再畫圖． ( 3) 先變形為 y ＝ 1 ＋2x － 1再畫圖． [ 解析 ] ( 1) 圖象如圖 ( 1) ，在 [ － 2 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)． ( 2) y ＝????? ( x － 1 )2＋ 2 x ≥ 0( x ＋ 1 )2＋ 2 x 0，其圖象如圖 ( 2) ，單調(diào)增區(qū)間為 [ － 1,0 ] 和 [1 ，＋ ∞ ) ，單調(diào)減區(qū)間為 ( － ∞ ，－ 1] 和[ 0,1] ． ( 3) y ＝x ＋ 1x － 1＝x － 1 ＋ 2x － 1＝ 1 ＋2x － 1，它可以由 y ＝2x的圖象向右平移 1 個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到．如圖 ( 3) ，它在區(qū)間 ( － ∞ ， 1) 和 (1 ，＋ ∞ ) 上都是減函數(shù)． ? [點(diǎn)評(píng) ] ，①含絕對(duì)值的函數(shù)可以先去掉絕對(duì)值號(hào)化為分段函數(shù)再畫圖．應(yīng)注意區(qū)分 y＝ |f(x)|與 y＝ f(|x|)的畫法不同． ② y ＝cx ＋ dax ＋ b( a ≠ 0 ， c2＋ d2≠ 0) 的圖象可先分離常數(shù)，再借助反比例 函數(shù) y ＝kx( k ≠ 0) 的圖象經(jīng)過(guò)平移得到． ③ y ＝ x ＋ a 的圖象可由 y ＝ x 的圖象平移得到． 故應(yīng)熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、 y ＝kx( k ≠ 0) ， y ＝ | x |，y ＝ x 的圖象分布規(guī)律． ? 2． 函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)增 (減 )區(qū)間一般不能并起來(lái) ． ? 先畫出下列函數(shù)的圖象 ， 再求其最大 、 小值 ． ( 1) y ＝ 2
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