【正文】 考慮如下資產(chǎn)組合： ＋Δ份股票 －1份看漲期權(quán) 則資產(chǎn)組合價值為60Δ－12或42Δ。證明無套利原理和風險中性估價原理得出相同的答案。無風險年利率為12％（連續(xù)復利）。由題意可得： 則： ， 1－p＝ 且 $50。該組合現(xiàn)值為： 80＋f其中f是期權(quán)價值。 考慮如下資產(chǎn)組合：－Δ份股票 ＋1份看跌期權(quán) （注：看跌期權(quán)的套期保值率Δ是負值）。無風險年利率為5％（連續(xù)復利）。 此外，此題也可直接根據(jù)公式（）和（）計算，由題意可得： ，則： 且 某個股票現(xiàn)價為$50。該組合現(xiàn)值為： 50－f其中f是期權(quán)價值。請用無套利原理說明，執(zhí)行價格為$49的兩個月后到期的歐式看漲期權(quán)的價值為多少？解：兩個月后歐式看漲期權(quán)的價值將為$4（當股價為$53）或$0（當股價為$48）。已知在兩個月后，股票價格為$53或$48。 所以，用股票和期權(quán)組合的頭寸不可能是一直無風險的。解：無風險組合可由賣空1份期權(quán)及買入Δ份股票構(gòu)成。 考慮這樣一種情況，在某個歐式期權(quán)的有效期內(nèi)，股票價格的運動符合兩步二叉樹運動模式。執(zhí)行價格為$100的一年期歐式看漲期權(quán)的價值為多少？解：由題意得，u＝，d＝，r＝ 所以， 110 10090012121計算二叉樹圖的結(jié)果如下8119990 則看漲期權(quán)價值為： ，執(zhí)行價格為$100的一年期歐式看跌期權(quán)的價值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)的平價關(guān)系。有連續(xù)2個時間步，每個時間步的步長為6個月，每個單步二叉樹預(yù)期上漲10％，或下降10％。執(zhí)行價格為$50，6個月后到期的歐式看跌期權(quán)的價值為多少？解：考慮如下資產(chǎn)組合，賣1份看跌期權(quán)，買Δ份股票。已知6個月后將為$45或$55。即是股票期權(quán)價格變化與其標的股票價格變化的比率。 在風險中性估值方法中，我們選取二叉樹概率，以使股票的期望收益率等價于無風險利率，而后通過計算期權(quán)的期望收益并以無風險利率貼現(xiàn)得到期權(quán)價值。所以，f＝40－＝$另解：（計算風險中性概率p） 42p－38（1－p）＝，p＝ 期權(quán)價值是其期望收益以無風險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值，即： f＝（3＋0）＝$ 用單步二叉樹圖說明無套利和風險中性估值方法如何為歐式期權(quán)估值。執(zhí)行價格為$39的1個月期歐式看漲期權(quán)的價值為多少？解：考慮一資產(chǎn)組合：賣空1份看漲期權(quán)；買入Δ份股票。已知在一個月后股價為$42或$38。（為期權(quán)執(zhí)行價格，即股票目前價格，下同）(d)該組合等價于一份固定收益?zhèn)囝^與三份看漲期權(quán)空頭，其損益為，與股價變動方向相反。（V為組合損益，C為期權(quán)費，下同）： (b)該組合等價于一份股票多頭與一份固定收益?zhèn)囝^，其損益，與股價同向同幅度變動。 (a)一份股票和一份看漲期權(quán)的空頭 (b)兩份股票和一份看漲期權(quán)的空頭 (c)一份股票和兩份看漲期權(quán)的空頭 (d)一份股票和四份看漲期權(quán)的空頭 在每種情況中，假設(shè)看漲期權(quán)的執(zhí)行價格等于目前股票價格。盒式價差期權(quán)有什么樣的特征？解：牛市價差期權(quán)由1份執(zhí)行價格為歐式看漲期權(quán)多頭與1份執(zhí)行價格為的歐式看漲期權(quán)空頭構(gòu)成（），熊市價差期權(quán)由1份執(zhí)行價格為的歐式看跌期權(quán)多頭與1份執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)空頭構(gòu)成，則盒式價差期權(quán)的收益狀況如下： 股價 牛市價差損益 熊市價差損益 總損益 = － 0 － － － － = 0 － － 由此可見，無論哪種情形，盒式價差期權(quán)損益均為－，若不存在套利機會，盒式價差期權(quán)當前價值即為－的現(xiàn)值。假定F為遠期合約價格，若K=F，則遠期合約價值為0。遠期合約可由買入1份歐式看漲期權(quán)，同時賣空1份歐式看跌期權(quán)，要求兩份期權(quán)有相同執(zhí)行價格K及到期日T。相比而言，倒置價差期權(quán)存在潛在利潤而無論股價波動幅度多大。寬跨式期權(quán)較跨式期權(quán)便宜，但要求股價有更大變動以確保正利潤；落式期權(quán)及吊式期權(quán)都比跨式期權(quán)貴，當股價有大幅度下降，落式期權(quán)將有更大利潤，當股價有大幅度上升，吊式期權(quán)將有更大利潤。解：投資者能采用以下六種策略：寬跨式期權(quán)（Strangle）、跨式期權(quán)（Straddle）、落式期權(quán)（Strip）、吊式期權(quán)（Strap）、倒置日歷價差期權(quán)及倒置蝶式價差期權(quán)。解：通過買入執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)，同時賣空執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)構(gòu)造牛市價差期權(quán)，其收益狀況如下：max(－，0)－max(－，0) 股價 多頭損益 空頭損益 總損益 = 0 0 0 0 － －（－） = － － －（－）。請問：股票價格在什么范圍內(nèi)時，跨式期權(quán)將導致?lián)p失呢？解：可通過同時購買看漲看跌期權(quán)構(gòu)造跨式期權(quán)：max（－60，0）+max(60－)－（6＋4），其損益狀況為： 股價 跨式期權(quán)損益 60 －70 ＝60 －10 60 50－ 所以，當股價在5070時，跨式期權(quán)將導致?lián)p失。解：如下圖，該對角價差期權(quán)所需的初始投資額較高，但其利潤模式與一般價差期權(quán)相同。則有： ， 因此， 又由于 ，所以有 ＝0且 因此，歐式看跌期權(quán)構(gòu)造的蝶式價差期權(quán)的成本與歐式看漲期權(quán)構(gòu)造的蝶式價差期權(quán)的成本是相等的。解：定義分別為執(zhí)行價格為的看漲期權(quán)價格。其收益狀況如下： 股價 蝶式價差期權(quán)損益 =65 －1 60=65 64－ 55=60 －56 55 －1 所以，當64或56時，蝶式價差期權(quán)將導致?lián)p失。做出表格說明這種策略帶來的贏利性。執(zhí)行價格為$5$60和$65，市場價格分別為$$5和$8。此策略將有$3期初現(xiàn)金流入，其損益狀況如下： 股價 價差期權(quán)損益 利潤 =35 0 －3 30＝35 －35 －32 30 －5 －2 b)熊市價差期權(quán)可通過賣空執(zhí)行價格為$30的看跌期權(quán)同時買入執(zhí)行價格為$35的看跌期權(quán)構(gòu)造。$30和$35的看跌期權(quán)成本分別為$4和$7，怎樣用期權(quán)構(gòu)造（a）牛市價差期權(quán)；(b)熊市價差期權(quán)？做出表格說明這兩個期權(quán)的收益與報酬狀況。然而，為使期權(quán)在到期日處于實值狀態(tài)，股價僅有很小機會快速下降。？解：進取型的熊市價差期權(quán)可由虛值看跌期權(quán)（均有相對低的執(zhí)行價格），因為兩份看漲期權(quán)價值接近于0，價差期權(quán)僅需很少成本構(gòu)造?？礉q期權(quán)構(gòu)造的牛市價差收益高于看跌期權(quán)。 令分別為執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)與看漲期權(quán)，分別為執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)與看漲期權(quán)，由期權(quán)平價公式可得： ， 則：，這表明，由看跌期權(quán)構(gòu)造的牛市價差期權(quán)的初始投資小于由看漲期權(quán)構(gòu)造的牛市價差期權(quán)初始投資數(shù)額為。其損益狀態(tài)如下： 股價 T時蝶式價差期權(quán)損益 45 40－ 4550 －5 50 －55 仔細分析由看跌期權(quán)構(gòu)造的牛式價差期權(quán)和由看漲期權(quán)構(gòu)造的牛市價差期權(quán)之間的不同點。 執(zhí)行價格為$50的看漲期權(quán)成本為$2，執(zhí)行價格為$45的看跌期權(quán)成本為$3。 寬跨式期權(quán)與跨式期權(quán)之間有何不同？解：寬跨式與跨式期權(quán)均是由1份看漲與1份看跌期權(quán)構(gòu)成。初始投資為4＋－22＝$。做個表格說明蝶式價差期權(quán)損益如何隨股票變化而變化的。 有效期為一個月的股票看漲期權(quán)分別有$1$$20的執(zhí)行價格，其期權(quán)價格分別為$$2和$。 2）熊市價差期權(quán)也可由2份相同期限、不同執(zhí)行價格的看跌期權(quán)構(gòu)成；投資者可通過賣空執(zhí)行價格低的同時買入執(zhí)行價格高的看跌期權(quán)構(gòu)造。 解釋構(gòu)造熊市價差期權(quán)的兩種方法。因而只有提前執(zhí)行期權(quán)。一般的看漲期權(quán)在這兩種情形下都會被執(zhí)行，但經(jīng)理執(zhí)行期權(quán)不同。請討論一位經(jīng)理為什么會提前執(zhí)行期權(quán)。他們通常為期10年。如果期權(quán)被執(zhí)行，公司發(fā)行新的庫存股票。b)按照以公司價值為標的物的期權(quán)的形式，描述債務(wù)人的頭寸狀況。如果公司的價值小于債務(wù)的面值，你就必須宣布破產(chǎn)，讓債務(wù)人擁有公司。所有的債務(wù)在1年后到期。，會有何結(jié)果？解：同樣構(gòu)造一投資組合：買進一份執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)，一份執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)同時賣空2份執(zhí)行價格為的看跌期權(quán)，到期日股票價格為,則組合價值為：max（,0）+max(,0)－2max(，0） 的數(shù)值 組合價值 0因此，在期初該組合價值應(yīng)大于等于0，即成立。根據(jù)無套利定價理論，在期初，組合價值也應(yīng)大于等于0，即應(yīng)大于等于0。所有的期權(quán)有相同的到期日。 解：由公式，可得：31－304－P31－30 即 －P 該美式看跌期權(quán)的價格上下限為：P，如果美式看跌期權(quán)的價格高于所計算的上限值，請說明存在什么樣的套利機會。無風險利率為8％。$4。解：若上題中，歐式看跌期權(quán)為$3，套利者可買入看漲期權(quán)、賣空看跌期權(quán)、賣空股票進行套利。期限結(jié)構(gòu)為水平，無風險利率為10％。$30，6個月后到期的歐式看漲期權(quán)的價格為$2。1） 當利率上升，執(zhí)行價格的利息（時間價值）增加，這會使提前執(zhí)行更具吸引力。股票價格為$47，執(zhí)行價格為$50，風險年利率為6％。2） 如果到期日股價高于$60，－＝$(現(xiàn)值)利潤。因為，所以，應(yīng)買看漲期權(quán)的同時賣空股票，則無論如何，均將獲利。對套利者而言存在什么樣的機會。它的價格下限為多少？解：看漲期權(quán)價格下限為：，期限為2個月，股票價格為$58，執(zhí)行價格為$65，無風險年利率為5％，它的價格下限為多少？解：該看跌期權(quán)的價格下限為：$5，股票價格為$64，執(zhí)行價格為$60，1個月后發(fā)紅利$。因為如果我們買看漲期權(quán)，賣空看跌期權(quán)并賣空股票，我們并不能確定其結(jié)果，因為我們并不確定看跌期權(quán)是否會被執(zhí)行。當可提前執(zhí)行，以上論述則不成立。 請解釋為什么對歐式看漲期權(quán)平價關(guān)系的討論用于美式期權(quán)不可能得出同樣的結(jié)論。解：因為 ，而 所以。無風險年利率為10％，股票現(xiàn)價為$19，預(yù)計1個月后發(fā)紅利$1。如果期權(quán)提早執(zhí)行，則保險消失，但期權(quán)多頭立即獲得股票價格，并可獲得提早執(zhí)行日至到期日間資金X的時間價值。” 請解釋這句話。假設(shè)期權(quán)購買者有現(xiàn)金X，且利率為0。第二條原因在利率為零時也成立。該看漲期權(quán)價格下限為多少？解：該看漲期權(quán)的價格下限為：28－25＝$，期限為1個月，股票價格為$12，執(zhí)行價格為$15，無風險年利率6％，該期權(quán)的價格下限為多少？解：該看跌期權(quán)價格下限為：15－12＝$。解：影響期權(quán)價格的6個因素有：標的資產(chǎn)價格、期權(quán)的執(zhí)行價格、無風險利率、資產(chǎn)價格的波動率、期限以及持有期間收益。解：美式期權(quán)的持有者有立即執(zhí)行期權(quán)，實現(xiàn)期權(quán)內(nèi)在價值的權(quán)利，因此，美式期權(quán)的價值至少應(yīng)等于其內(nèi)在價值。因此，美式期權(quán)至少應(yīng)與相應(yīng)的歐式期權(quán)有相同的價值。 請說明為什么歐式期權(quán)總是不如有相同標的物、相同執(zhí)行價格、相同到期 日的美式期權(quán)值錢。解：投資者頭寸狀況為： max（ST－ X,0）－ max（X－ ST,0） 此頭寸相當于執(zhí)行價格為X的遠期合約。第七章 一位投資