fourier變換(參考版)
2025-07-29 07:34本頁面
【正文】 j( ) ( ) e dtF f t t?? ???? ???012 ( 1 ) c o s dt t t??? ?02 ( ) c o s df t t t??? ? ?00112 ( c o s d c o s d )t t t t t??????11200s i n c o s s i n2 ( )t t t t??? ? ? ? ???2s in c o s s in 12 ( )???? ? ? ? ???2 (1 c o s )?? ??。而 的振幅頻譜為 當 ， 。 解 根據(jù)例 1的結果，可得 所以 解 根據(jù)單位脈沖函數(shù)性質(zhì)可得 例 8 作單位脈沖函數(shù) 的頻譜圖。由于 ?是連續(xù)變化的，我們稱之為 連續(xù)頻譜， 對一個時間函數(shù)作 Fourier變換，就是求這個時間函數(shù)的頻譜。 解 根據(jù) Fourier 變換公式，有 00( ) ( )? d ? ? d ? ?? ? ? ?????00jj jeeed2ttt t??????????? ?00j ( ) j (1 e e d2tt t? ? ? ??? ? ? ? ??????001 2 ( ) 2 ( )2 ? d ? ? ? d ? ?? ? ? ?????j0( ) [ ( ) ] e c o s dtF f t t t??? ?? ????? ?F例 求函數(shù) f (t) =cosa t cos? t 的 Fourier 變換。 同理 , 如 F(?)=2?d(???0) 由上面兩個函數(shù)的變換可得 je d 2 ( )t t? ? d ??? ??? ??0j ( ) 0e d 2 ( )t t?? ? d ? ??? ???? ???例 5 求正弦函數(shù) f (t) = sin?0 t 的 Fourier 變換。 為 證 事實上，若 ，則按 Fourier 逆變換可得 例 4 證明單位階躍函數(shù) 0 , 0() 10tut t ??? ? ??的 Fourier變換 1 ()j ?d ?? ?。為了不涉及到 函數(shù)的較深入的理論，我們可以通過 Fourier 逆變換來推證單位階躍函數(shù)的 Fourier 變換。 更進一步的還成立； d函數(shù)有性質(zhì) d函數(shù) 的 Fourier變換為 : t O d(t) 1 ? O F(?) 1 ? 可見，單位脈沖函數(shù) d (t)與常數(shù) 1構成了一 Fourier變換對。 其中 對任何 ε 0，顯然有 01( ) d d 1t t t??d ?????????( ) d 1ttd???? ??則由給出的 d ? 函數(shù) 的定義，有 工程上將 d 函數(shù)稱為 單位脈沖函數(shù) ，可將 d函數(shù)用一個長度等于 1的有向線段表示，這個線段的長度表示 d 函數(shù)的積分值 ，稱為 d函數(shù)的強度 。為了方便起見，我們僅把 d－函數(shù) 看作是弱收斂函數(shù)序列的弱極限。有了這種函數(shù) , 對于許多集中于一點或一瞬時的量 , 例如點電荷 , 點熱源 , 集中于一點的質(zhì)量及脈沖技術中的非常窄的脈沖等 , 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣 , 以統(tǒng)一的方式加以解決 . d－函數(shù) 是一個廣義函數(shù)，它沒有普通意義下的“函數(shù)值”，所以，它不能用通常意義下“值的對應關系”來定義。 在力學中 , 要研究機械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等 . 研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的 單位脈沖函數(shù) . 在原來電流為零的電路中，某一瞬時 (設為 t =0)進入一單位電量的脈沖，現(xiàn)在要確定電路上的電流 i (t)。 2( ) e tf t A ???解 根據(jù) Fourier變換式，有 j2ts????如令 ，上式為一復變函數(shù)的積分，即 j( ) [ ( ) ] ( ) e dtF f t f t t?? ?? ????? ?F222j2j 4e e d e e dtttA t A t?? ???? ?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?????22j j2 2j2e d dtst e s? ??? ???????? ?? ????? ????? ?? ????積分路線如圖所示 : A B C D ?R R O 實軸 虛軸 由于 為復平面 s 上的解析函數(shù)，取圖所示的閉曲線 l ：矩形 ABCDA，按 Cauchy 積分定理，有 即 其中，當 時，有 令 同理，當 時，有 從而，當 時，有 由此可知 即 因此，鐘形脈
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