【正文】 Segle L. A. Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences [J]. Macmillan Inc., New York, 1974, 28(7): 1560.[2] 劉粵鉗, 姚紅紅. Fourier變換的改進(jìn)形式——分?jǐn)?shù)傅立葉變換[J]. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2005, 11(3): 59.[3] . Cultural malpractice。帶著這樣的基礎(chǔ)，我們還可以就其他的Fourier變換形式以及更多的領(lǐng)域做更深入的探討和研究，從而得到Fourier變換更多更有用的應(yīng)用方法。并且在仿真模擬這方面，還有著有很大的研究空間，例如還可以用MATLAB對(duì)各種應(yīng)用案例進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，這比C++的實(shí)現(xiàn)更具直觀性。最后，在這些理解的基礎(chǔ)之上，本文對(duì)離散Fourier變換的快速計(jì)算方法——快速Fourier變換(FFT)進(jìn)行了算法研究和C++語(yǔ)言的具體實(shí)現(xiàn)，從而在計(jì)算機(jī)仿真模擬這方面有了初步的了解和體驗(yàn)。主要對(duì)離散Fourier變換(DFT)和Fourier變換的變形——分?jǐn)?shù)階Fourier變換(FRFT)兩個(gè)應(yīng)用最廣泛的案例做了分析，應(yīng)用的領(lǐng)域則采取了以信號(hào)處理為主、物理光學(xué)為輔的方式。接著重點(diǎn)對(duì)Fourier的幾種變形形式做了深入的探討和研究，從時(shí)域和頻域的信號(hào)處理角度來(lái)分析了各種不同F(xiàn)ourier分析形式的異同，從定義和性質(zhì)兩個(gè)方面進(jìn)行討論。i++) Data[i]/=length。 } } if(flag==1) for(i=0。 Data[i*step+j]=Data[i*step+j]+temp。i++) { temp=Data[i*step+step/2+j]*wn。j++) { for(i=0。； for(j=0。step=1i。i=Log2N。 Data[i+1]=tempData[i+1]。i+=2) { temp=Data[i]。 for(i=0。 plexdouble wn,temp,deltawn。}當(dāng)i=1時(shí)，也就是第一次循環(huán)并沒(méi)有必要進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算，因?yàn)閖只能取1，wn為實(shí)數(shù)，這個(gè)時(shí)間可以節(jié)省。i++) Data[i]/=length。 } } } if(flag==1)//如果為反變換，要除以序列的長(zhǎng)度 for(int i=0。 Data[index0]=temp+wn*Data[index1]。 index1=k*step+step/2+j。klength/step。j++) { wn=plexdouble(cos(2*pi/step*j),sin(flag*2*pi/step*j))。 for(j=0。i=Log2N。 int index0,index1。 plexdouble wn,temp。 plexdouble* dit2(plexdouble*Data,int Log2N,int flag){ int i,j,k。 return。OutData[i+length/2]=EvenDataOddData*plexdouble(cos(2*pi*i/length),sin(flag*2*pi*i/length))。ilength/2。//對(duì)奇偶序列分別進(jìn)行變換dit2rec(OddData,EvenResult,length/2,sign)。 OddData[i]=InData[2*i+1]。ilength/2。 return。//奇序列的變換結(jié)果int i,j。//奇序列組成一個(gè)子序列plexdouble*EvenResult=new plexdouble(length/2)。void dit2rec(plexdouble*InData,plexdouble*OutData,int length,int flag){plexdouble*EvenData=new plexdouble(length/2)。但是，我們從圖55中很容易看出，由于奇偶的不斷分組，最后輸入的序列順序不是順位輸入的，而是倒位序[9]的。下一級(jí)的運(yùn)算仍采用這種原位方式，只不過(guò)進(jìn)入蝶形結(jié)的組合關(guān)系有所不同。每列的N/2個(gè)蝶形運(yùn)算全部完成后，再開(kāi)始下一列的蝶形運(yùn)算。即某一列的N個(gè)數(shù)據(jù)送到存儲(chǔ)器后，經(jīng)蝶形運(yùn)算，其結(jié)果為下一列數(shù)據(jù)，它們以蝶形為單位仍存儲(chǔ)在這同一組存儲(chǔ)器中，直到最后輸出，中間無(wú)需其他存儲(chǔ)器。式(515)的蝶形運(yùn)算由一次復(fù)乘和兩次復(fù)加(減)組成。當(dāng)點(diǎn)數(shù)N越大時(shí)，F(xiàn)FT的優(yōu)勢(shì)更為明顯。 直接計(jì)算DFT與FFT算法的計(jì)算量之比為：我們可以將此函數(shù)做出曲線圖，如圖56所示，這樣我們就可以很直觀的看出按時(shí)間抽取的FFT算法與直接計(jì)算DFT運(yùn)算量的比較。所以，為了統(tǒng)一作比較起見(jiàn)，下面都不考慮這些特例。圖55 N=8按時(shí)間抽取法FFT信號(hào)流圖 按時(shí)間抽取的FFT算法與直接計(jì)算DFT運(yùn)算量的比較由按時(shí)間抽取法FFT的流圖可見(jiàn)，當(dāng)N=2L時(shí)，共有L級(jí)蝶形，每級(jí)都由N/2個(gè)蝶形運(yùn)算組成，每個(gè)蝶形需要一次復(fù)乘、二次復(fù)加，因而每級(jí)運(yùn)算都需N/2次復(fù)乘和N次復(fù)加，這樣L級(jí)運(yùn)算總共需要 復(fù)數(shù)乘法：復(fù)數(shù)加法：實(shí)際計(jì)算量與這個(gè)數(shù)字稍有不同，因?yàn)椋赃@幾個(gè)系數(shù)是不需要乘法運(yùn)算的，但是這些情況是在直接計(jì)算DFT中存在。類似的可以求出X3(k)、X5(k)、X6(k)，這些2點(diǎn)DFT都可以用一個(gè)蝶形表示。圖54 按時(shí)間抽取，將一個(gè)N點(diǎn)DFT分解為4個(gè)N/4點(diǎn)DFT(N=8)根據(jù)上面同樣的分析可知，利用4個(gè)N/4點(diǎn)的DFT及2個(gè)蝶形組合運(yùn)算來(lái)計(jì)算N點(diǎn)DFT，比只用一次分解蝶形組合方式的計(jì)算量又減少了大約一半。 (510) ，并且，式中 (511) (512)圖53示意出了N=8時(shí)，將一個(gè)N/2點(diǎn)DFT分解成兩個(gè)N/4點(diǎn)DFT，由此兩個(gè)N/4點(diǎn)DFT組合成了一個(gè)N/2點(diǎn)DFT的信號(hào)流圖。由此可見(jiàn)，通過(guò)這樣分解后運(yùn)算工作量差不多節(jié)省了一半。此外，把兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT合成為N點(diǎn)DFT時(shí)，有N/2個(gè)蝶形運(yùn)算，還需要N/2次復(fù)數(shù)乘法及2*N/2=N次復(fù)數(shù)加法。圖52按時(shí)間抽取，將一個(gè)N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT一個(gè)N點(diǎn)DFT分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT，每一個(gè)N/2點(diǎn)DFT只需(N/2) 2=N2/4次復(fù)數(shù)乘法，N/2(N/21)次復(fù)數(shù)加法。當(dāng)支路上沒(méi)有標(biāo)出系數(shù)時(shí)，則該支路的傳輸系數(shù)為1。 后半部分X(k) (59)這樣，只要求出0~(N/21)區(qū)間的所有X1(k)和X2(k)的值，即可求出0~N1區(qū)間內(nèi)的所有X(k)值，這就大大節(jié)省了運(yùn)算量。再考慮到的對(duì)稱性 (57)把式(55)~ (57)代入到式(52)中，就可將X(k)表達(dá)為下面所列的前后兩個(gè)部分：但是x1(r)、x2(r)以及X1(k)、X2(k)都是N/2點(diǎn)的序列，即滿足r,k=0,1,…, N/21。這種N為2的整數(shù)冪的FFT，也稱基2FFT。 算法原理先設(shè)序列長(zhǎng)度為N=2L，L為整數(shù)。 快速傅里葉變換算法正是基于這樣的基本思想而發(fā)展起來(lái)的。利用DFT系數(shù)的一些特性，使得DFT運(yùn)算中有些項(xiàng)可以合并，并能使DFT分解為更少點(diǎn)數(shù)的DFT運(yùn)算。繼續(xù)上面的例子，N=1024時(shí)，總的運(yùn)算次數(shù)就變成了525312次，節(jié)省了大約50%的運(yùn)算量。當(dāng)N=1024點(diǎn)甚至更多的時(shí)候，需要=1048576次運(yùn)算，在FFT中，利用WN的周期性和對(duì)稱性，把一個(gè)N項(xiàng)序列（設(shè)N=2k，k為正整數(shù)），分為兩個(gè)N/2項(xiàng)的子序列，每個(gè)N/2點(diǎn)DFT變換需要次運(yùn)算，再用N次運(yùn)算把兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT變換組合成一個(gè)N點(diǎn)的DFT變換。它對(duì)Fourier變換的理論并沒(méi)有新的發(fā)現(xiàn)，但是對(duì)于在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或者說(shuō)數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散Fourier變換，可以說(shuō)是進(jìn)了一大步。由于篇幅的局限性，本章只就時(shí)間抽取的FFT算法進(jìn)行了分析。由以上分析可知：在Wigner空間Fourier變換、通過(guò)一個(gè)透鏡和光在自由空間的傳播這三種操作都不改變WignerVille分布的值，只是坐標(biāo)(t,ξ)被一個(gè)仿射變換所修正[19]。即 (427)然后，讓信號(hào)通過(guò)一個(gè)薄透鏡的一段很小的行程L，則 (428)這里，焦距f不同于f1，關(guān)系為：f= f1/Q，此時(shí) (429)表明WVD在ξ方向上有一個(gè)切變。以ξ為變量的WVD為： (426)信號(hào)如果用它的Fourier變換取代，則相當(dāng)于信號(hào)的WVD在時(shí)頻平面90176。 物理光學(xué)中的應(yīng)用[40]信號(hào)x(t)的WignerVille分布函數(shù)(WVD：WignerVille distributions)定義為 (417)作為能量型的時(shí)頻表示，WVD滿足許多期望的數(shù)學(xué)性質(zhì)，這里給出對(duì)于理解FRFT具有啟發(fā)意義的邊緣特性即 (418) (419)而信號(hào)x(t)的P階分?jǐn)?shù)階Fourier變換XP(u)的Wigner變換就是將信號(hào)x(t)的WVD旋轉(zhuǎn)α角度，即： (420)從式(420)我們可以看出，信號(hào)x(t)的WVD對(duì)與時(shí)間成α角度的軸的積分投影對(duì)應(yīng)著角度為α的分?jǐn)?shù)階Fourier變換的幅度平方，而WVD分別對(duì)時(shí)間與頻率的積分正是信號(hào)功率的時(shí)間表示與頻率表示，這進(jìn)一步從能量的角度說(shuō)明分?jǐn)?shù)階Fourier變換作為廣義Fourier變換的含義。然而，對(duì)于快衰落信道，普通OFDM系統(tǒng)中子載波的正交性易受到破壞，文獻(xiàn)[38]提出用chirp信號(hào)基來(lái)匹配快衰落信道，在實(shí)現(xiàn)上用分?jǐn)?shù)階Fourier變換來(lái)代替FFT，仿真結(jié)果顯示該方案能夠較好地適應(yīng)時(shí)變信道。正交頻分多路技術(shù)(OFDM)是在頻域內(nèi)將給定信道分成許多正交子信道，在每個(gè)子信道上使用一個(gè)子載波進(jìn)行調(diào)制，各子載波并行傳輸。文獻(xiàn)[37]基于時(shí)變信道的參數(shù)模型，提出了一種利用分?jǐn)?shù)階Fourier變換實(shí)現(xiàn)的時(shí)變信道參數(shù)估計(jì)方法，該法運(yùn)算量小，估計(jì)精度高(逼近于Cramer Rao下界)。隨著通信技術(shù)的發(fā)展，移動(dòng)條件下的大容量通信已經(jīng)開(kāi)始進(jìn)入人們的普通生活，但是隨之而來(lái)的技術(shù)問(wèn)題也日益突出，其中快衰落信道就是高速移動(dòng)通信所不可避免的問(wèn)題之一。但是陣列中各換能器間的相互影響往往限制了發(fā)射效率的提高，文獻(xiàn)[35]提出了一種基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的傳感器陣輻射特性預(yù)測(cè)算法，通過(guò)預(yù)測(cè)各傳感器的輻射特性來(lái)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，以提高聲納陣的發(fā)射效率。因此，文獻(xiàn)[34]對(duì)基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的目標(biāo)檢測(cè)算法與傳統(tǒng)匹配濾波器在Gauss白噪聲背景下LFM信號(hào)的檢測(cè)性能作了仿真比較，結(jié)果表明分?jǐn)?shù)階Fourier變換良好的抗Doppler性能有利于微弱信號(hào)檢測(cè)。當(dāng)采用LFM信號(hào)時(shí)，由于受Doppler失配的影響，在輸出信噪比“最大”的位置由于相位不一致而不再最大，導(dǎo)致匹配濾波器性能惡化。 (416)匹配濾波器以及與其等價(jià)的拷貝相關(guān)器是在Gauss白噪聲背景下檢測(cè)確知信號(hào)的最佳檢測(cè)器。文獻(xiàn)[33]利用分?jǐn)?shù)階相關(guān)與二維相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，將分?jǐn)?shù)階相關(guān)引入極坐標(biāo)表示的二維相關(guān)函數(shù)的計(jì)算中，提出一種基于分?jǐn)?shù)階相關(guān)的無(wú)源雷達(dá)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)新算法： (415)圖48 分?jǐn)?shù)階相關(guān)與時(shí)延頻移二維相關(guān)的關(guān)系既然分?jǐn)?shù)階位移算子是將信號(hào)在時(shí)頻半面上沿著某個(gè)徑向軸移動(dòng)，因此基于的分?jǐn)?shù)階相關(guān)必然與時(shí)延頻移二維相關(guān)存在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。目前相參體制的外輻射源雷達(dá)是以直達(dá)波與目標(biāo)反射信號(hào)進(jìn)行微弱目標(biāo)相干檢測(cè)來(lái)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位和跟蹤。所不同的是，文獻(xiàn)[31]只利用了α=，而文獻(xiàn)[32]則利用了的分?jǐn)?shù)階Fourier域信息，兩篇文獻(xiàn)的仿真結(jié)果都顯示了分?jǐn)?shù)階Fourier變換用于目標(biāo)回波檢測(cè)和識(shí)別的良好性能。眾所周知，當(dāng)發(fā)射信號(hào)波長(zhǎng)與目標(biāo)尺寸差不多時(shí)能夠產(chǎn)生共振，利用共振波可以檢測(cè)和識(shí)別目標(biāo)，但是共振需要一定的時(shí)間才能激發(fā)。該方法對(duì)寬帶LFM信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì)精度高，且魯棒性好。隨著陣列天線技術(shù)的不斷應(yīng)用，基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的陣列信號(hào)處理算法也吸引了人們的注意。盡管上述聲音分析方法在原文獻(xiàn)的仿真中都足用來(lái)做聲音識(shí)別，但是它們還可以用在聲音增強(qiáng)、確認(rèn)、合成等方面。文獻(xiàn)[28]提出了一種基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的語(yǔ)音信號(hào)描述方法，定義了一個(gè)描述變量如下： (414)其中，為語(yǔ)音信號(hào)離散表示。4. 聲信號(hào)分析人或動(dòng)物的聲音信號(hào)可以建模成基波和它的各次諧波組成，并且頻率是時(shí)變的，這樣，傳統(tǒng)的Fourier變換將不能很好地描述聲音信號(hào)。文獻(xiàn)[26]針對(duì)白噪聲背景下線性調(diào)頻信號(hào)的濾波問(wèn)題，由線性最小均方誤差估計(jì)的正交條件出發(fā)，證明了上述分?jǐn)?shù)階Fourier域最優(yōu)濾波器是這種濾波問(wèn)題的等效Wiener濾波器，并給出了這一濾波算子的離散實(shí)現(xiàn)算法。那么最優(yōu)波傳遞函數(shù)如下： (413)其中具體步驟是：首先給式(413)中的α賦初始值，然后在最小均方誤差準(zhǔn)則下利用迭代算法米確定最佳的α值(計(jì)算均方誤差時(shí)需要用到rss(t, σ)，再將其代入式(413)，便得到了分?jǐn)?shù)階Fourier域最優(yōu)濾波傳遞函數(shù)。文獻(xiàn)[25]給出了最小均方誤差準(zhǔn)則下