【正文】 Segle L. A. Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences [J]. Macmillan Inc., New York, 1974, 28(7): 1560.[2] 劉粵鉗, 姚紅紅. Fourier變換的改進形式——分數(shù)傅立葉變換[J]. 安慶師范學院學報(自然科學版), 2005, 11(3): 59.[3] . Cultural malpractice。帶著這樣的基礎，我們還可以就其他的Fourier變換形式以及更多的領(lǐng)域做更深入的探討和研究，從而得到Fourier變換更多更有用的應用方法。并且在仿真模擬這方面，還有著有很大的研究空間，例如還可以用MATLAB對各種應用案例進行實現(xiàn)，這比C++的實現(xiàn)更具直觀性。最后，在這些理解的基礎之上，本文對離散Fourier變換的快速計算方法——快速Fourier變換(FFT)進行了算法研究和C++語言的具體實現(xiàn)，從而在計算機仿真模擬這方面有了初步的了解和體驗。主要對離散Fourier變換(DFT)和Fourier變換的變形——分數(shù)階Fourier變換(FRFT)兩個應用最廣泛的案例做了分析，應用的領(lǐng)域則采取了以信號處理為主、物理光學為輔的方式。接著重點對Fourier的幾種變形形式做了深入的探討和研究，從時域和頻域的信號處理角度來分析了各種不同F(xiàn)ourier分析形式的異同，從定義和性質(zhì)兩個方面進行討論。i++) Data[i]/=length。 } } if(flag==1) for(i=0。 Data[i*step+j]=Data[i*step+j]+temp。i++) { temp=Data[i*step+step/2+j]*wn。j++) { for(i=0。； for(j=0。step=1i。i=Log2N。 Data[i+1]=tempData[i+1]。i+=2) { temp=Data[i]。 for(i=0。 plexdouble wn,temp,deltawn。}當i=1時，也就是第一次循環(huán)并沒有必要進行復數(shù)運算，因為j只能取1，wn為實數(shù)，這個時間可以節(jié)省。i++) Data[i]/=length。 } } } if(flag==1)//如果為反變換，要除以序列的長度 for(int i=0。 Data[index0]=temp+wn*Data[index1]。 index1=k*step+step/2+j。klength/step。j++) { wn=plexdouble(cos(2*pi/step*j),sin(flag*2*pi/step*j))。 for(j=0。i=Log2N。 int index0,index1。 plexdouble wn,temp。 plexdouble* dit2(plexdouble*Data,int Log2N,int flag){ int i,j,k。 return。OutData[i+length/2]=EvenDataOddData*plexdouble(cos(2*pi*i/length),sin(flag*2*pi*i/length))。ilength/2。//對奇偶序列分別進行變換dit2rec(OddData,EvenResult,length/2,sign)。 OddData[i]=InData[2*i+1]。ilength/2。 return。//奇序列的變換結(jié)果int i,j。//奇序列組成一個子序列plexdouble*EvenResult=new plexdouble(length/2)。void dit2rec(plexdouble*InData,plexdouble*OutData,int length,int flag){plexdouble*EvenData=new plexdouble(length/2)。但是，我們從圖55中很容易看出，由于奇偶的不斷分組，最后輸入的序列順序不是順位輸入的，而是倒位序[9]的。下一級的運算仍采用這種原位方式，只不過進入蝶形結(jié)的組合關(guān)系有所不同。每列的N/2個蝶形運算全部完成后，再開始下一列的蝶形運算。即某一列的N個數(shù)據(jù)送到存儲器后，經(jīng)蝶形運算，其結(jié)果為下一列數(shù)據(jù)，它們以蝶形為單位仍存儲在這同一組存儲器中，直到最后輸出，中間無需其他存儲器。式(515)的蝶形運算由一次復乘和兩次復加(減)組成。當點數(shù)N越大時，F(xiàn)FT的優(yōu)勢更為明顯。 直接計算DFT與FFT算法的計算量之比為：我們可以將此函數(shù)做出曲線圖，如圖56所示，這樣我們就可以很直觀的看出按時間抽取的FFT算法與直接計算DFT運算量的比較。所以，為了統(tǒng)一作比較起見，下面都不考慮這些特例。圖55 N=8按時間抽取法FFT信號流圖 按時間抽取的FFT算法與直接計算DFT運算量的比較由按時間抽取法FFT的流圖可見，當N=2L時，共有L級蝶形，每級都由N/2個蝶形運算組成，每個蝶形需要一次復乘、二次復加，因而每級運算都需N/2次復乘和N次復加，這樣L級運算總共需要 復數(shù)乘法：復數(shù)加法：實際計算量與這個數(shù)字稍有不同，因為，所以這幾個系數(shù)是不需要乘法運算的，但是這些情況是在直接計算DFT中存在。類似的可以求出X3(k)、X5(k)、X6(k)，這些2點DFT都可以用一個蝶形表示。圖54 按時間抽取，將一個N點DFT分解為4個N/4點DFT(N=8)根據(jù)上面同樣的分析可知，利用4個N/4點的DFT及2個蝶形組合運算來計算N點DFT，比只用一次分解蝶形組合方式的計算量又減少了大約一半。 (510) ，并且，式中 (511) (512)圖53示意出了N=8時，將一個N/2點DFT分解成兩個N/4點DFT，由此兩個N/4點DFT組合成了一個N/2點DFT的信號流圖。由此可見，通過這樣分解后運算工作量差不多節(jié)省了一半。此外，把兩個N/2點DFT合成為N點DFT時，有N/2個蝶形運算，還需要N/2次復數(shù)乘法及2*N/2=N次復數(shù)加法。圖52按時間抽取，將一個N點DFT分解為兩個N/2點DFT一個N點DFT分解為兩個N/2點DFT，每一個N/2點DFT只需(N/2) 2=N2/4次復數(shù)乘法，N/2(N/21)次復數(shù)加法。當支路上沒有標出系數(shù)時，則該支路的傳輸系數(shù)為1。 后半部分X(k) (59)這樣，只要求出0~(N/21)區(qū)間的所有X1(k)和X2(k)的值，即可求出0~N1區(qū)間內(nèi)的所有X(k)值，這就大大節(jié)省了運算量。再考慮到的對稱性 (57)把式(55)~ (57)代入到式(52)中，就可將X(k)表達為下面所列的前后兩個部分：但是x1(r)、x2(r)以及X1(k)、X2(k)都是N/2點的序列，即滿足r,k=0,1,…, N/21。這種N為2的整數(shù)冪的FFT，也稱基2FFT。 算法原理先設序列長度為N=2L，L為整數(shù)。 快速傅里葉變換算法正是基于這樣的基本思想而發(fā)展起來的。利用DFT系數(shù)的一些特性，使得DFT運算中有些項可以合并，并能使DFT分解為更少點數(shù)的DFT運算。繼續(xù)上面的例子，N=1024時，總的運算次數(shù)就變成了525312次，節(jié)省了大約50%的運算量。當N=1024點甚至更多的時候，需要=1048576次運算，在FFT中，利用WN的周期性和對稱性，把一個N項序列（設N=2k，k為正整數(shù)），分為兩個N/2項的子序列，每個N/2點DFT變換需要次運算，再用N次運算把兩個N/2點的DFT變換組合成一個N點的DFT變換。它對Fourier變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn)，但是對于在計算機系統(tǒng)或者說數(shù)字系統(tǒng)中應用離散Fourier變換，可以說是進了一大步。由于篇幅的局限性，本章只就時間抽取的FFT算法進行了分析。由以上分析可知：在Wigner空間Fourier變換、通過一個透鏡和光在自由空間的傳播這三種操作都不改變WignerVille分布的值，只是坐標(t,ξ)被一個仿射變換所修正[19]。即 (427)然后，讓信號通過一個薄透鏡的一段很小的行程L，則 (428)這里，焦距f不同于f1，關(guān)系為：f= f1/Q，此時 (429)表明WVD在ξ方向上有一個切變。以ξ為變量的WVD為： (426)信號如果用它的Fourier變換取代，則相當于信號的WVD在時頻平面90176。 物理光學中的應用[40]信號x(t)的WignerVille分布函數(shù)(WVD：WignerVille distributions)定義為 (417)作為能量型的時頻表示，WVD滿足許多期望的數(shù)學性質(zhì)，這里給出對于理解FRFT具有啟發(fā)意義的邊緣特性即 (418) (419)而信號x(t)的P階分數(shù)階Fourier變換XP(u)的Wigner變換就是將信號x(t)的WVD旋轉(zhuǎn)α角度，即： (420)從式(420)我們可以看出，信號x(t)的WVD對與時間成α角度的軸的積分投影對應著角度為α的分數(shù)階Fourier變換的幅度平方，而WVD分別對時間與頻率的積分正是信號功率的時間表示與頻率表示，這進一步從能量的角度說明分數(shù)階Fourier變換作為廣義Fourier變換的含義。然而，對于快衰落信道，普通OFDM系統(tǒng)中子載波的正交性易受到破壞，文獻[38]提出用chirp信號基來匹配快衰落信道，在實現(xiàn)上用分數(shù)階Fourier變換來代替FFT，仿真結(jié)果顯示該方案能夠較好地適應時變信道。正交頻分多路技術(shù)(OFDM)是在頻域內(nèi)將給定信道分成許多正交子信道，在每個子信道上使用一個子載波進行調(diào)制，各子載波并行傳輸。文獻[37]基于時變信道的參數(shù)模型，提出了一種利用分數(shù)階Fourier變換實現(xiàn)的時變信道參數(shù)估計方法，該法運算量小，估計精度高(逼近于Cramer Rao下界)。隨著通信技術(shù)的發(fā)展，移動條件下的大容量通信已經(jīng)開始進入人們的普通生活，但是隨之而來的技術(shù)問題也日益突出，其中快衰落信道就是高速移動通信所不可避免的問題之一。但是陣列中各換能器間的相互影響往往限制了發(fā)射效率的提高，文獻[35]提出了一種基于分數(shù)階Fourier變換的傳感器陣輻射特性預測算法，通過預測各傳感器的輻射特性來進行實時調(diào)整，以提高聲納陣的發(fā)射效率。因此，文獻[34]對基于分數(shù)階Fourier變換的目標檢測算法與傳統(tǒng)匹配濾波器在Gauss白噪聲背景下LFM信號的檢測性能作了仿真比較，結(jié)果表明分數(shù)階Fourier變換良好的抗Doppler性能有利于微弱信號檢測。當采用LFM信號時，由于受Doppler失配的影響，在輸出信噪比“最大”的位置由于相位不一致而不再最大，導致匹配濾波器性能惡化。 (416)匹配濾波器以及與其等價的拷貝相關(guān)器是在Gauss白噪聲背景下檢測確知信號的最佳檢測器。文獻[33]利用分數(shù)階相關(guān)與二維相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，將分數(shù)階相關(guān)引入極坐標表示的二維相關(guān)函數(shù)的計算中，提出一種基于分數(shù)階相關(guān)的無源雷達動目標檢測新算法： (415)圖48 分數(shù)階相關(guān)與時延頻移二維相關(guān)的關(guān)系既然分數(shù)階位移算子是將信號在時頻半面上沿著某個徑向軸移動，因此基于的分數(shù)階相關(guān)必然與時延頻移二維相關(guān)存在某種對應關(guān)系。目前相參體制的外輻射源雷達是以直達波與目標反射信號進行微弱目標相干檢測來對目標進行定位和跟蹤。所不同的是，文獻[31]只利用了α=，而文獻[32]則利用了的分數(shù)階Fourier域信息，兩篇文獻的仿真結(jié)果都顯示了分數(shù)階Fourier變換用于目標回波檢測和識別的良好性能。眾所周知，當發(fā)射信號波長與目標尺寸差不多時能夠產(chǎn)生共振，利用共振波可以檢測和識別目標，但是共振需要一定的時間才能激發(fā)。該方法對寬帶LFM信號的波達方向估計精度高，且魯棒性好。隨著陣列天線技術(shù)的不斷應用，基于分數(shù)階Fourier變換的陣列信號處理算法也吸引了人們的注意。盡管上述聲音分析方法在原文獻的仿真中都足用來做聲音識別，但是它們還可以用在聲音增強、確認、合成等方面。文獻[28]提出了一種基于分數(shù)階Fourier變換的語音信號描述方法，定義了一個描述變量如下： (414)其中，為語音信號離散表示。4. 聲信號分析人或動物的聲音信號可以建模成基波和它的各次諧波組成，并且頻率是時變的，這樣，傳統(tǒng)的Fourier變換將不能很好地描述聲音信號。文獻[26]針對白噪聲背景下線性調(diào)頻信號的濾波問題，由線性最小均方誤差估計的正交條件出發(fā)，證明了上述分數(shù)階Fourier域最優(yōu)濾波器是這種濾波問題的等效Wiener濾波器，并給出了這一濾波算子的離散實現(xiàn)算法。那么最優(yōu)波傳遞函數(shù)如下： (413)其中具體步驟是：首先給式(413)中的α賦初始值，然后在最小均方誤差準則下利用迭代算法米確定最佳的α值(計算均方誤差時需要用到rss(t, σ)，再將其代入式(413)，便得到了分數(shù)階Fourier域最優(yōu)濾波傳遞函數(shù)。文獻[25]給出了最小均方誤差準則下