圓的方程例題講解(參考版)
2025-07-26 20:56本頁面
【正文】 解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，∴.∵，∴。類型一：圓的方程例1 求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程并判斷點與圓的關系．分析：欲求圓的標準方程，需求出圓心坐標的圓的半徑的大小，而要判斷點與圓的位置關系，只須看點與圓心的距離和圓的半徑的大小關系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內．解法一：（待定系數法）設圓的標準方程為．∵圓心在上，故．∴圓的方程為．又∵該圓過、兩點．∴解之得：，．所以所求圓的方程為．解法二：（直接求出圓心坐標和半徑）因為圓過、兩點，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因為，故的斜率為1，又的中點為，故的垂直平分線的方程為：即．又知圓心在直線上，故圓心坐標為∴半徑．故所求圓的方程為．又點到圓心的距離為．∴點在圓外．說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關鍵的量，然后根據圓心與定點之間的距離和半徑的大小關系來判定點與圓的位置關系，若將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關系呢？例2 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程．分析：根據問題的特征，宜用圓的標準方程求解．解：則題意，設所求圓的方程為圓．圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標為或．又已知圓的圓心的坐標為，半徑為3．若兩圓相切，則或．(1)當時，或(無解)
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