用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟(參考版)
2025-07-23 03:38本頁(yè)面
【正文】 ,00 0,0,)( 1是負(fù)定的并稱(chēng)對(duì)稱(chēng)矩陣為負(fù)定二次型則稱(chēng)都有如果對(duì)任何是正定的并稱(chēng)對(duì)稱(chēng)矩陣次型為正定二則稱(chēng)顯然都有如果對(duì)任何設(shè)有實(shí)二次型定義AfxfxAffxfxAxxxfT??????例如 正定二次型 （ 正定矩陣 ）的判別方法： (1)定義法； (2)順次主子式判別法 ； (3)特征值判別法 . 特征值全大于零 ,011 ?a ,022211211 ?aaaa,?。,.4212121nnnC ?????????????記得單位化正交化將特征向量 .,.52211 nn yyffCyx?? ?????的標(biāo)準(zhǔn)形則得作正交變換 解 1．寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 ?????????????????144241422217A?????????????????????????144241422217EA? ? ? ?918 2 ??? ??.,844141417 323121232221化成標(biāo)準(zhǔn)形通過(guò)正交變換將二次型Pyxxxxxxxxxxf???????例 2 從而得特征值 .18,9 321 ??? ???? ? 得基礎(chǔ)解系代入將 ,091 ??? xEA ??2．求特征向量 ? ? 得基礎(chǔ)解系代入將 ,01832 ???? xEA ???,)0,1,2(2 ?? T? .)1,0,2(3 ?? T?3．將特征向量正交化 ,11 ?? ? 取.)1,1,21(1 T??,22 ?? ?? ?? ? ,2223233 ??????? ??得正交向量組 .)1,54,52(3 ??? T?,)0,1,2(2 ?? T? ,)1,1,21(1 T??? ? ,3,2,1, ?? iiii ???令得,051522?????????? ??? ,3232311???????????? .4554544523??????????????.45503245451324525231??????????????P 所以4．將正交向量組單位化，得正交矩陣 P于是所求正交變換
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