概率論入門1部分(參考版)
2025-06-30 15:08本頁面
【正文】 。下列定理推廣了二項式定理，其證明留為習(xí)題。例 5b. 把10個孩子分為A,B兩組，每組5人，A組同學(xué)在一起玩，B組同學(xué)一起玩，有多少種分法？解 有種分法。 多項式系數(shù)本節(jié)考慮下列問題：將一個含有個獨(dú)立元素的集合分為個獨(dú)立的組，每一組分別含有個元素，其中，那么有多少種不同的分法？可以這樣回答這個問題，對第一組的選擇有種，對第一組的每一個選擇，第二組都有種選擇，對前兩組的每一個選擇，第三組都有種選擇，以此類推，由推廣了的計數(shù)原則，結(jié)果為： 注：若，定義，這樣將個獨(dú)立元素分為組，分別包括個獨(dú)立元素，表示總共有多少分法的數(shù)目。注意到我們在計算子集的時候，包括了一個0元素的集合(即空集)。此結(jié)果也可以通過把集合里的每一個元素賦值為0或1。組合法證明二項式定理：考慮乘積它的展開項由項的和組成，每一項是個因子的乘積，而且項組成的和式中每一項或者包括，或者包括，例如：現(xiàn)在，在和式中的項中有多少項含有個，個？因為根據(jù)從個值中取個的原則知，每一項都由個，個組成，有個這樣的項，從而令得：例 4d. 展開。歸納法證明二項式定理：時，等式()變?yōu)榧僭O(shè)等式()對成立，則 在第一個和式中令，在第二個和式中令就有： 其中倒數(shù)第二個等式來自等式()。值通常被指定為二項式系數(shù)，這就是為什么它們在二項式理論中占有如此重要地位的理由。1一個有用的恒等式為 ()等式()可以用解析方法證明，也可以用以下組合方法證明。從而有種連接，其中在任意兩條有缺陷的天線之間至少有一條可用的天線。另外，如果其中2位男士拒絕一起加入委員會，那么3位男士的組合中有組不包括那2個不和的男士中的任意一個，有組只包括那2個不和的男士中的一個，這就是說3位男士的組合中有+=30組均不包括兩個不和的男士，因為選取2位女士有種方法，因此答案為30=300個不同的委員會。依照慣例，定義，從而，并且定義。這樣表示選取順序不相關(guān)時，從個個體每次取個個體的不同組合的個數(shù)。 一般來說，當(dāng)選擇次序相關(guān)，并且每一個項的組在計數(shù)時都被計次，則從項中選取項組成一組一共有種不同的方法，從而從項中選取項組成一組一共有組。組合通常我們對從個個體的總體中取出個個體，能排成多少不同的組非常感興趣，例如，從這5項中取出3個成為一組，那么有多少不同的組？為了回答這個問題，理由如下：因為第一項的選擇有5種方法，第二項有4種，最后一項有3種，這樣當(dāng)被選項次序相關(guān)時選擇3個一組就有種方法。例 3e. 一個國際象棋比賽有10名賽手，4個俄羅斯人，3個美國人，2個英國人，1個巴西人，如果比賽結(jié)果的次序正好就是賽手國籍的次序，那么有多少可能的結(jié)果？解 有種結(jié)果。從而字母有種排列。下面我們來看個個體中某些個體不互相區(qū)分，其排列的個數(shù)，為了更直接一些，我們來看下面的例子。(b) 因為男士中有6！中排列，女士中有4！中排列，從而由基本計數(shù)原則有(6!)(4!)=(720)(24)=17,280種排列。例 3b. 概率理論班有6位男士，4位女士，一次考試過后，根據(jù)他們的表現(xiàn)排隊，假設(shè)沒有兩個同學(xué)的一樣的分?jǐn)?shù)。假設(shè)我們現(xiàn)在有個事物，道理上類似于以上3個字母所使用的方法，則個事物就有！種不同的排列。 排列字母有多少不同順序的排列？通過直接計數(shù)有6種，即,每一種安排都稱為排列。例 2d. 如果每一個函數(shù)值都取0或1，那么定義在各點上函數(shù)有多少？解 設(shè)這個點分別是1，2，…，因為對每一個都等于0或者1，那么只有兩種可能的函數(shù)。例 2b. 一個計劃委員會由
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