傅里葉級數與傅里葉變換的關系與應用本科畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-29 16:18本頁面
【正文】 就要各奔前程，每個人收獲的果實不一樣，但母校潛移默化的影響，對母校深深的眷戀，卻將同樣長久地伴隨我們。其次，感謝身邊的同學，朋友，老師，相聚是緣，淚痕與汗水，辛酸與甜蜜，淺薄與深沉，都融入這方寸土之地，散落于每個角落，不分彼此，直至永遠，感謝一路有你們的陪伴。張老師擁有淵博的，開闊的思路，她不僅是我的論文指導老師而且還是我的代課老師，課堂上她直至不倦的傳授我們新的知識，在她的引導下，我認識了傅里葉級數與傅里葉變換的相關理論，并了解了怎樣去寫一篇論文，為本篇論文打下了理論基礎。當對周期函數進行傅立葉變換時，所得到的是頻譜密度；而將該函數展成傅里葉級數時，所得到的傅立葉系數，是復指數分量的幅值。 周期函數與離散頻譜眾所周知，一個諧波函數，是由振幅，相位和頻率三個參數唯一的確定了。傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲結構力學、海洋學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量 傅里葉變換在求解微分方程中的應用我們在研究研究線性常系數偏微分方程中，傅里葉變換法是一種特別重要的方法，它的應用范圍包括求解無界區(qū)域的定解問題，用傅里葉變換法求解定解問題的思想與步驟：（1） 對定解問題作傅里葉變換，化偏微分方程為常微分方程（2）求解像函數（3）對像函數作傅里葉逆變換，得所求問題的解例：對于任意，求下面方程的定解問題 （1）其中解：對方程（1）兩邊作傅里葉變換，可得： （2）顯然偏微分方程（1）已經被轉換成代數方程（）。若掃描矩形波頻率為60Hz，則要求放大器的通頻帶度為600Hz就可以了。一般來說，在10次諧波以后，就認為幅度已經相當小，可以略去不計。記為，即共軛性質 設，是的共軛函數，則=線性性質 設則位移性質 4傅里葉變換與傅里葉級數之間的區(qū)別與聯系 傅里葉級數是周期變換，傅里葉變換是一種非周期變換 傅里葉級數是以三角函數為基對周期信號的無窮級數展開，如果把周期函數的周期取作無窮大，對傅里葉級數取極限即得到傅里葉變換。傅里葉（Fourier）變換，簡稱傅式變換，像拉普拉斯變換一樣，它也是一種化繁為簡，變難為易的重要數學運算工具，它的理論與方法在數學的許多分支以及其他自然科學和工程技術領域中，都有著廣泛的應用。3 傅里葉變換的概念及性質傅里葉變換是一種對連續(xù)時間函數的積分變換，它通過特定形式的積分建立了函數之間的對應關系。如果的階導數不處處連續(xù)，那么不是就是，一般情況是二者都不能比更快地趨向于零。如果函數包含一個或幾個間斷點，那么不是就是，一般情況是二者都不能比更快的趨向于零。一般而言，一個滿足狄利克雷條件的周期函數。一般來說，微分使級數的收斂 程度降低。所以上面第一個例子微分后得一發(fā)散級數。事實上，三角波得導數正數方波。利用求系數公式及分部積分，可以證明 （=0,1,2，…） （=1,2,3，…）如果，則的傅里葉級數可通過對的傅里葉級數進行逐項求導而得，即 （7）微分與積分大不相同，例如考慮下列函數（鋸齒波）： 的傅里葉級數為 （）對上式逐項微分得 于是得到不收斂的級數其次，再考慮三角波 它的傅里葉級數 是一個收斂得相當快的級數，且在上一致收斂。如果原級數中，只要用代替公式（4）中的即可。值得注意的是，單從的連續(xù)性考慮還不能保證傅里葉級數收斂。必須注意，狄利克雷定理中加在上的條件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。事實上，也正是如此，可代入數字驗證。于是由（1）與（2）式分別得 (3）與 , n=0,1,2… (4)
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