【正文】 就要各奔前程，每個(gè) 人收獲的果實(shí)不一樣，但母校潛移默化的影響，對(duì)母校深深的眷戀，卻將同樣長(zhǎng)久地伴隨我們。 其次，感謝身邊的同學(xué)，朋友，老師，相聚是緣，淚痕與汗水，辛酸與甜蜜，淺薄與深沉，都融入這方寸土之地，散落于每個(gè)角落，不分彼此，直至永遠(yuǎn)，感謝一路有你們的陪伴。 張 老師 擁有 淵博 的， 開(kāi)闊 的思路 ， 她不僅是我的論文指導(dǎo)老師而且還是我的代課老師，課堂上 她直至不倦的傳授我們新的知識(shí) ，在她 的引導(dǎo)下，我認(rèn)識(shí)了傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換的相關(guān)理論 ，并了解了怎樣去寫(xiě)一篇論文，為 本篇論文打下 了理論 基礎(chǔ) 。 。當(dāng)對(duì)周期函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換時(shí)，所得到的是頻譜密度；而將該函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，所得到的傅立葉系數(shù)，是復(fù)指數(shù)分量的幅值。 周期函數(shù)與離散頻譜 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 15 眾所周知 ，一個(gè)諧波函數(shù) 0( ) c os( )f t A t????，是由振幅 A ，相位 ? 和頻率 0? 三個(gè)參數(shù)唯一的確定了。 傅里葉變換的應(yīng)用 傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、 密碼學(xué)、聲結(jié)構(gòu)力學(xué)、海洋學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量 傅里葉變換在求解微分方程中的應(yīng)用 我們 在研究研究線性常系數(shù)偏微分方程中，傅里葉變換法是一種特別重要的方法，它的應(yīng)用范圍包括求解無(wú)界區(qū)域的定解問(wèn)題，用傅里葉變換法求解定解問(wèn)題的思想與步驟： （ 1） 對(duì)定解問(wèn)題作傅里葉變換，化偏微分方程為常微分方程 （ 2）求解像函數(shù) （ 3）對(duì)像函數(shù) 作傅里葉逆變換，得所求問(wèn)題的解 例：對(duì)于任意 xRn? ，求下面方程的定解問(wèn) 題 ( ) ( ) ( )u x u x f x?? ? ? （ 1） 其中 2()nf L R? 解：對(duì)方程（ 1）兩邊作傅里葉變換，可得： ^^2(1 ) ( ) ( )y u y f y?? （ 2） 顯然偏微分方程（ 1）已經(jīng)被轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程（ ）。若掃描矩形波頻率為 60Hz，則要求放大器的通頻帶度為 600Hz 就可以了。一般來(lái)說(shuō)，在 10 次諧波以后，就認(rèn)為幅度已經(jīng)相當(dāng)小，可以略去不計(jì)。)02(。記為 1()G?F ，即 1 1( ) ( ) ( )2 itF t G G e d???? ??????? ?F 傅立葉變換的性質(zhì) 共軛性質(zhì) 設(shè) ? ?( ) ( )f t F x?F ， ()Fx是 ()Fx的共軛函數(shù)，則 ()Fx= ()Fx? 線性性質(zhì) 設(shè) ? ? ? ?1 2 1 1 2 2, ( ) ( ) , ( ) ( )a a f t f x f t f x??為 常 數(shù) ， FF 則 ? ?1 1 2 2 1 1 2 2( t) ( t) ( ) a ( )a f a f a F x F x? ? ?F 位移性質(zhì) ? ?00, ( ) ( ) ,t f t F?? ?設(shè) 為 實(shí) 常 數(shù) ， 則F ? ? 00( ( ) itf t t F e ?? ???F ? ? 01 0( ( ) itf t t F e ??? ??F 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 12 4 傅里葉變換與傅里葉級(jí)數(shù)之間的 區(qū)別與 聯(lián)系 傅里葉級(jí)數(shù)是周期變換，傅里葉變換是一種非周期變換 傅里葉級(jí)數(shù)是以三角函數(shù)為基對(duì)周期信號(hào)的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)， 如果把周期函數(shù)的周期取作無(wú)窮大，對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)取極限即得到傅里葉變換。 傅里葉變換的概念 傅里葉（ Fourier）變換，簡(jiǎn)稱傅式變換，像拉普拉斯變換一樣，它也是一種化繁為簡(jiǎn)，變難為易的重要數(shù)學(xué)運(yùn)算工具，它的理論與方法在數(shù)學(xué)的許多分支以及其他自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中，0limlim ?? ???? kkkk kbka滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 11 都有著廣泛的應(yīng)用。 3 傅里葉變換 的概念及性質(zhì) 傅里葉變換是一種對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的積分變換，它通過(guò)特定形式的積分建立了函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如果 )(xf 的 n 階導(dǎo)數(shù)不處處連續(xù)，那么不是 ka 就是 kb ，一般情況是二者都 不能比1?nkc更快地趨向于零。如果函數(shù)包含一個(gè)或幾個(gè)間斷點(diǎn)，那么不是 ka 就是 kb ，一般情況是二者都不能比 kc 更快的趨向于零。一般而言，一個(gè)滿足狄利克雷條件的周期函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，微分使級(jí)數(shù)的收斂 程度降低。所以上面第一個(gè)例子微分后得一發(fā)散級(jí)數(shù)。事實(shí)上，三角波得導(dǎo)數(shù)正數(shù)方波。 ??? ??? 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 10 上式正是方波 ? )0(,1 )0(,139。 xf 的傅里葉級(jí)數(shù)可通過(guò)對(duì) )(xf 的傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)而得，即 )s i nc os()( 1 xlkalkxlkblkxf kk k ???? ?? ??? （ 7） 微分與積分 大不相同，例如考慮下列函數(shù)（鋸齒波）： xxf ?)( )( lxl ??? 的傅里葉級(jí)數(shù)為 xlkkxkk?? s in1)1(2 11???? ?? （ ） 對(duì)上式逐項(xiàng)微分得 xlkk k ?c os)1(21 1 1??? ??? 于是得到不收斂的級(jí)數(shù) 其次，再考慮三角波 xxf ?)( )( lxl ??? 它的傅里葉級(jí)數(shù) xlkkllx k ?? )12(c os)12( 142 0 22 ???? ??? 是一個(gè)收斂得相當(dāng)快的級(jí)數(shù)，且在 ? ?ll,? 上一致收斂。 xlkBxlkAAxf kk k ?? ??? ??? }s i nc os)1({2 1 xlkalkxlkcblkc kk kk ???? ??????? ???? ??? （ 6） 其中 ? ?)()(1 lflflc ??? 。 3 微分 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 9 定理 3 若 )(xf 在 ? ?ll,? 上連續(xù)，又 )(39。 積分 定理 2 如果 )(xf 在區(qū)間 ? ?ll,? 上分段連續(xù)，其傅里葉級(jí)數(shù)為 )s i nc os()( 1 xlkbxlkaxf kk k ?? ?? ??? 則 F )c oss i n()(21)()( 1 xlkbxlkak ldxxxfldttfx kkl l kxl ??? ????? ? ?? ? ??? （ 3） 證明 kk kkkxl k bk lxlkbxlkak ldttf ???? ?? ?????? ???? 11 )1()c oss i n()( （ 4） 利用公式（ 2） ，得 kl l k k bk ldxxxfl ?2)1()(1 1 1? ??????? （ 5） 上式代入式（ 4），即得所證。在實(shí)際中這些條件通常是滿足的，目前還不知道傅里葉級(jí)數(shù)收斂的必要且充分的條件是什么。 而 x =l 是 )(xf 間斷點(diǎn)，由定義可知 llfllf ????? )0(,)0( 按收斂準(zhǔn)則， )(xf 傅里葉級(jí)數(shù)在間斷點(diǎn)處應(yīng)收斂到 ? ? 0)0()0(21 ???? lflf 事實(shí)上，以 x =l 代入級(jí)數(shù)（ 2），得級(jí)數(shù)和為零。 解：我們要將 )(xf 在 ? ?ll,? 之外視作是 2l 的周期函數(shù)，由傅里葉級(jí)數(shù)公式可得： 0c os1 ?? ?? ???? dlklallk （ k =0,1,2,?） 及 ?? ?? ? ?????? kl lk y dyyk lldlklb 02 s i n)(2s i n1 = ? ? 102 )1(2c oss i n)( 2 ???? kk k lyyyk l ?? ? （ k =1,2,3，?） 因此，所求級(jí)數(shù)為 滁州學(xué)院本科畢業(yè)論文 8 xlkklxf k k ?? s in)1(2)( 1 1??? ???