14定積分與微積分基本定理練習題及答案(參考版)
2025-06-27 18:39本頁面
【正文】 (2)cos2dx；(3)∫dx.[解析] (1)－1|x|dx＝2xdx＝2x2|＝1.(2)cos2dx＝dx＝x|＋sinx|＝.(3)∫dx＝ln(x－1)|＝1.16．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與x軸在原點處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，求a的值．[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a0)．∴S陰影＝[0－(－x3＋ax2)]dx＝(x4－ax3)|＝a4＝，∵a0，∴a＝－1.1．(2011鄭州二測)等比數(shù)列{an}中，a3＝6，前三項和S3＝4xdx，則公比q的值為( )A．1 B．－C．1或－ D．－1或－[答案] C[解析] 因為S3＝4xdx＝2x2|＝18，所以＋＋6＝18，化簡得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，故選C.12．(2012惠州模擬)(2－|1－x|)dx＝________.[答案] 3[解析] ∵y＝，∴(2－|1－x|)dx＝(1＋x)dx＋(3－x)dx＝(x＋x2)|＋(3x－x2)|＝＋＝3.8．(2010吉林省調(diào)研)已知正方形四個頂點分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲線y＝x2(x≥0)與x軸，直線x＝1構(gòu)成區(qū)域M，現(xiàn)將一個質(zhì)點隨機地投入正方形中，則質(zhì)點落在區(qū)域M內(nèi)的概率是( )A. B. C. D.[答案] C[解析] 如圖，正方形面積1，區(qū)域M的面積為S＝x2dx＝x3|01＝，故所求概率p＝.2．如圖，陰影部分面積等于( )A．2 B．2－C. D.[答案] C[解析] 圖中陰影部分面積為S＝ (3－x2－2x)dx＝(3x－x3－x2)|＝.＝( )A．4π B．2πC．π D.[答案] C[解析] 令y＝，則x2＋y2＝4(y≥0)，由定積分的幾何意義知所求積分為圖中陰影部分的面積，∴S＝π22＝π.4.已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示)．那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是( )A．在t1時刻，甲車在乙車前面B．在t1時刻，甲車在乙車后面C．在t0時刻，兩車的位置相同D．t0時刻后，乙車在甲車前面[答案] A[解析] 判斷甲、乙兩車誰在前，誰在后的問題，實際上是判斷在t0，t1時刻，甲、乙兩車行駛路程的大小問題．根據(jù)定積分的幾何意義知：車在某段時間內(nèi)行駛的路程就是該時間段內(nèi)速度函數(shù)的定積分，即速度函數(shù)v(t)的圖象與t軸以及時間段圍成區(qū)域
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