行列式的的解法技巧本科畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-27 17:08本頁(yè)面
【正文】 ［5］石福慶,陳凱,:1985。[3] 徐帥，陸全，張凱院，呂全義，:西北工業(yè)大學(xué)出版社。參考文獻(xiàn)：［1］:高等教育出版社。1n11)(0baba?假設(shè)對(duì)于 時(shí)命題成立，那么，當(dāng)左下角單位矩陣為 階(即1?n)時(shí)，對(duì)最后一行展開，nz272112121212 00)(00)(0 DbaaaabBzA nnnnnn ??????? ???? ? ????? ????其中 ，nnnbaaD1121 )()(????而按歸納法假設(shè)證畢。例 23 計(jì)算： xaaxDn? ??????法 1：將第 2,3,…，n 行都加到第 1 行上去，得 xanxaaaxnaxDn ? ?????? ?????? 1])1([)()1()( ????????再將第一行通乘 ，然后分別加到第 2,3,…,n 行上，得?])1([)(011])([ 1anxaxanxDnn ?????? ?? ?????法 2：將 2,3,…,n 行分別減去第 1 行得axxaaaxDn ???? ??????0再將第 2,3,…,n 列都加到第 1 列上去，25便有 1)]()[00)1( ??????? nn axnxaxaaxD? ??????法 3：將 添加一行及一列，構(gòu)成 階行列式n )1(nxaaDn? ?????01?再將第 2,3,…,n+1 行分別減去第 1 行，于是有令 axaxaDn ???? ??????011在 時(shí)，顯然 ，在 時(shí)，ax?n?則 1)]()[1001)( 101)( ??????????? nnnn axnxaxaaxaxxaxD? ??????? ??????法 4：令26axxaxax aaxaxDn ?????????? ?? ?????? ???? ? ????? 00110)(00)()(將右式中第二個(gè)行列式的第 2,3,…,n 列全加到第 1 列上去，再利用 Laplace 展開，所以得 11)]()[)()( ??????? nnnn axxaxxD例 24 求證 ???niinnbb1212)(010? ?????證：若記 ， 時(shí)，上述等式可簡(jiǎn)記為),(21aA??),(21nbB?Bznn)??證法一：把第 2 行乘以 ，第 3 行乘以 ，…，第 行)(1a)(2a?1?n乘以 ，全部加到第一行，再對(duì)第 1 行利用拉普拉斯定理展開，)(na?注意各項(xiàng)的符號(hào)應(yīng)為 ，得證。計(jì)算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計(jì)算行列式24的幾種方法，計(jì)算行列式時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)針對(duì)具體問(wèn)題，把握行列式的特點(diǎn)，靈活選用方法。n解：若 中有兩個(gè)數(shù)相等，則na?1 0?nD若 互異，則每個(gè) 階行列式? 是)()()()(21211 nnn nafafxf fffG? ??????的線性組合，據(jù)題 的次數(shù)≤ 因而)(,21xf? xi )1(2ni???的次數(shù)≤ 但 ,?,0)()(2?nG?這說(shuō)明 至少有 個(gè)不同的根，故 所以 即)(xG1n,0)(x0)(1aG0)(?xDn 階循環(huán)行列式算法20例 16 計(jì)算行列式 其中acbaDn? ??????cb?.0解：設(shè) 且令 的 個(gè)根為)()( 12???nxxbaf? ?b則,1(nix????niifD1)由 有]1[)()( ????xbcaxbaf nn )()(1)(?iiii accf利用關(guān)系式 ???01,21niijii xx?? bn21)(????得 ??? ?niiiiini xacaxbaD11 )(][)()( bcabcannnn???? )()()1()(1例 17 設(shè) 都是 的可微函數(shù),2,jixfij ??x證明： ??ni nnininnnnn xfxffdfdxfxfxfxfffffdx11121221121 )()()()()()()()( ? ????? ????證明：21)]()()1([)()()()( 21)21221121 2 xffxdxfxfffffdx njjjjjnnnnnn?? ???? ? ????? )]()([)(21)2121 xffxdnjjjjjnn ?? ?? )]()()(()()([)1( 12121)212 xfdfxfxffxd njjnjjnjj jjjnn ????????? ?? )()()()1()()(()1(21 2122 11)21) ??????n nnnj njjnj jjnjjjj xfdfxfxffxd? ? ?? ??? ?? ??? ?? ????? ?? ????? )()()( )()()()()()( )()()( 21 2221 1121 22 1121 xfxfxf fdfdf xxxfxff fdfdfx nnn nnnn n )()()( )()()(1)()()( )()()(22112121 ,1,1, 2221 11 xfxff fdfdfxxfxffinfdxfdxf fxff xx nnn inii nnnn n ? ??????? ???? ? ?????例 18
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