有理數(shù)域上多項式的因式分解本科畢業(yè)論文(參考版)
2025-06-25 07:39本頁面
【正文】 x)=x23 x4=(x4) (x+1)所以fx=(x+1)4+(x4)（五）利用行列式的性質(zhì)在高代中，行列式是一個很好的工具， a11a12 a21a22=a11a22a12a21擴(kuò)展開來，可以將一個多項式F表示為其他兩個多項式的差，其中的每個兩個多項式又能寫成另外兩個多項式的乘積[[] 吳春梅，[J].洛陽大學(xué)學(xué)報，2007，22（2）：108110.]，即F= MN PQ，也即是F=MPQN將多項式F轉(zhuǎn)化成二階行列式的形式，再對二階行列式進(jìn)行初等變換，提取公因式.對任意的一元n次多項式p(x)=anxn+an1xn1+?a1x+a0均可寫成n階行列式的形式px=x10?0 00x1000?0 0x 1a0a1a2? an2anx+an1x)，再根據(jù)重因式分離法求出多項式fx標(biāo)準(zhǔn)分解式.例14：求fx=x510x320x215x4 在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.解:由x510x320x215x4105(x46x28x3)01 初等行變化 x3+3x2+3x+10所以 (fx,f39。x)= uxfx+ v(x) f39。x01 初等行變換 (fx,f39。x=x23x4，所以gx的不可約因式為x4，x+1.所以(fx,f39。x=5x430x240x15,(f(x),f39。x=p1r11xp2r21(x)?psrs1(x)存在q(x)=ap1(x)p2(x)?ps(x)使f(x)=(fx,f39。(x)逐一進(jìn)行檢驗，得出1和4是f(x)的有理根.假設(shè)f(x)=(x+1)(x4)(x3+ax2+bx+1)，利用多項式乘法法則對右式展開合并同類項fx=x5+a3x4+b43ax3+13b4ax2+34bx4將得到的結(jié)果與fx=x510x320x215x4逐項比較，得a=b=3.所以，該多項式的標(biāo)準(zhǔn)因式分解式為fx=x+1(x4)(x3+3x2+3x+1)=(x+1)4(x1)（三）重因式分離法數(shù)域P上任何次數(shù)大于0的多項式f(x)都有唯一的標(biāo)準(zhǔn)分解式 f(x)=ap1r1(x)p2r2(x)?psrs(x) （1）其中a為f(x)的首項系數(shù)，p1(x)?ps(x)（1）式兩邊求導(dǎo)得f39。1，177。2，177。1，常數(shù)項4 的因子有177。2，177。則需要檢驗的有理數(shù)為177。2,177。2和177。令fx=(x2+ax+1)(x2+bx+1)，其中a, b為整數(shù)，則有x4+4kx+1=x4+(a+b)x3+(2+ab)x2+(a+ b) x+1比較兩端系數(shù)a+b=0，2+ab=0，a+b=4k，得到a2=，f(x)不可約.三、多項式的有理根及因式分解在判斷多項式是否可約之后，我們就要借助于以下方法簡單的對有理數(shù)域上的一元多項式進(jìn)行因式分解了.（一）求根法設(shè)多項式f(x)=anxn+an1xn1+?+a1x+a0是整系數(shù)多項式.第一步，寫出首項系數(shù)an的全部因數(shù)vi，i=1，2，…，s；第二步，寫出常數(shù)項a0的全部因數(shù)uj，j=1，2，…，t；第三步，用綜合除法對試驗，確定f(x)的根；第四步，寫出f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式.[[] 徐仲，陸全，?導(dǎo)學(xué)?導(dǎo)考[M].：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006.]例11：求f(x)=4x4+7x3+10x2+5x2在有理數(shù)域上的因式分解.解:先把它變成求f(x)=4x4+7x3+10x2+5x2的有理根.∵f(x)的常數(shù)項和首項系數(shù)的全部因數(shù)分別是177。1，且f(177。1)≠0, f(177。1或177。1，因此帶入驗算得f(177。g1(x).因為多項式fx和本原多項式gx只相差一個非零的常數(shù)倍，他們都有著相同的整除性質(zhì)，之后考慮整系數(shù)多項式的因式分解問題.性質(zhì)1(高斯(Guass)引理) 設(shè)fx與gx為兩個本原多項式，那么他們的乘積hx=fx gx也是本原多項式.性質(zhì)2 設(shè)fx是非零整系數(shù)多項式，若fx分成為兩個有理數(shù)域上的多項式gx與hx的乘積，且?gx?fx,?hx?(fx)那么fx定能分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式乘積.例1：設(shè)fx, gx是兩個整系數(shù)多項式，：若fx= gxhx，且hx是有理數(shù)域上的多項式，那么hx一定是整系數(shù)多項式.證明：根據(jù)本原多項式的性質(zhì)來證明，設(shè)fx=af1x,hx=rh1x其中f1x,h1x都是本原多項式，a是整數(shù)，af1x= rg(x)h1x因為g(x)=177。 and in the practical application into factorization of meaning and purpose.Key words：Rational number field polynomial factoring 目 錄一、多項式的相關(guān)概念 1（一）一元多項式和一元多項式環(huán)的概念 1（二）多項式整除的概念 2二、有理數(shù)域上的多項式的可約性 3（一）有理數(shù)域與實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域的區(qū)別 3（二）多項式的可約性和
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