第八節(jié)復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解(參考版)
2024-10-15 12:06本頁面
【正文】 8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解 第一章 多項式 例 4 已知多項式 32( ) 2 3 10f x x x x? ? ? ?試求 的所有根 . ()fx解 因?qū)嵪禂?shù)多項式有一虛根 2+i,根據(jù)實系數(shù)多項式 的虛根成對定理 , ()fx還有根 2+i, 為 ,? 則有韋達定理有 : 2 2 2ii ?? ? ? ? ? ? ?從而 , 2.? ?所以 ,所求 的所有根為 2 , 2 , 2 .ii? ? ? ?設(shè) 的第三根 ()fx有一根 2+i， 。 8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解 第一章 多項式 附 :(根與系數(shù)的關(guān)系 ) 設(shè) n次多項式 110( ) ,nn nif x x a x a a R??? ? ? ? ? ? ? ?的 n個根是 12, , , ,nx x x1 2 11 2 2 3 1 21 2 3 1 2 4 2 1 312,( 1 ) .nnnn n nnnnx x x ax x x x x x ax x x x x x x x x ax x x a???? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ????????這個定理稱為韋達定理 . 則有 22 169。 8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解 第一章 多項式 當 n為偶數(shù)時 2 1 11 ( 1 ) ( 1 ) [ ( ) ]n n nx x x x x? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 22 2 2 2 2[ ( ) ]n n n nxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ?22 22( 1 ) ( 1 ) ( 2 c o s 1 ) [ 2 c o s 1 ]nx x x x x xnn? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12212( 1 ) ( 1 ) ( 2 c o s 1 )nkkx x x xn???? ? ? ? ??21 169。 8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解 第一章 多項式 ∴ 當 n為奇數(shù)時 2 1 11 ( 1 ) [ ( ) ]n n nx x x x? ? ? ???? ? ? ? ? ?1 1 1 12 2 2 2 2[ ( ) ]n n n nxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ?22 21( 1 ) ( 2 c o s 1 ) [ 2 c o s 1 ]nx x x x xnn? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?12212( 1 ) ( 2 c os 1 )nkkx x xn???? ? ? ??20 169。 8 復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解 第一章 多項式 ∴ 211 ( 1 ) ( ) ( ) ( )nnx x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?② 在實數(shù)域范圍內(nèi) ,k n k?? ??∵ 22 c o s 1, k k k kkn ?? ? ? ?? ? ?1 , 2, ,kn? ???① 在復數(shù)范圍內(nèi) 有 n個復根， 1nx ?22c o s sin , 1ninn????? ? ?211 , , , , n? ? ? ?其中 （
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