淺談多項(xiàng)式因式分解的方法(參考版)
2025-04-12 02:46本頁面
【正文】 導(dǎo)學(xué)參考文獻(xiàn) 段學(xué)復(fù)，聶靈沼，等．高等代數(shù)．北京：高等教育出版社，（2007重印）. 徐仲，陸全，張凱院其中方法一（求根法）：書寫簡潔，思路清晰，不容易出錯(cuò)，但它必須建立在多項(xiàng)式有有理根的基礎(chǔ)上，且若多項(xiàng)式需要檢驗(yàn)的因子很多，而每個(gè)因子都要做一次相應(yīng)的除法，這就給計(jì)算增加了一些麻煩，所以當(dāng)可能的有理根比較少時(shí)采用綜合除法；方法二（待定系數(shù)法）：比較基礎(chǔ)，也比較直接，但會(huì)涉及求解方程組，計(jì)算量往往也不小，只有預(yù)先觀察多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù)，同時(shí)找出多項(xiàng)式的有理根，才能有效降低待定系數(shù)法的難度；方法三（重因式分離法）及方法四（矩陣的初等行變換法）是線性代數(shù)中的兩個(gè)基本方法，用途非常廣泛，但它們都是建立在多項(xiàng)式有重因式的基礎(chǔ)上，如果多項(xiàng)式?jīng)]有重因式的話，這兩種方法都無法使用；方法五（行列式法）和方法六（單位根法）的觀念比較新穎，但技巧性較強(qiáng)，操作有一定的難度，即是說，我們在進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解時(shí)，行列式法和單位根法可以作為備用方法，但不是首選方法。經(jīng)探索可知，原多項(xiàng)式不可能分解成三個(gè)一次因式的乘積，可將適當(dāng)重新組合成 =，猜想=，經(jīng)驗(yàn)證可知，此分解是正確的。例17 將多項(xiàng)式在有理數(shù)域上進(jìn)行因式分解。例16 將多項(xiàng)式在有理數(shù)域上進(jìn)行因式分解。我們猜想此多項(xiàng)式的分解式可能是三個(gè)一次因式的乘積，也可能是一個(gè)一次因式與一個(gè)二次因式的乘積，再通過特例來進(jìn)行演繹以驗(yàn)證猜想的合理性。例15 將多項(xiàng)式=在有理數(shù)域上進(jìn)行因式分解。又由綜合除法，得 2 1 3 8 12 2 2 122 1 1 6 02 21 1 8可見，2是單根。由于是首項(xiàng)系數(shù)是1的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有有理根，必為整數(shù)根，且為常數(shù)項(xiàng)12的因數(shù)。設(shè)這種多項(xiàng)式為，=，再對進(jìn)行因式分解。例12 在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式.分析 這是與首末兩項(xiàng)等距離的系數(shù)相等而最高次數(shù)是奇數(shù)，所以是的根，從而原多項(xiàng)式可以化為.下面分解多項(xiàng)式.把多項(xiàng)式的各項(xiàng)除以，經(jīng)整理，轉(zhuǎn)化為方程.用換元法, 令，有，代入得 ，即 ，解之得 ，于是 或 ，解之得 。例11 在實(shí)數(shù)域上分解多項(xiàng)式.解 把多項(xiàng)式的各項(xiàng)除以，經(jīng)整理，轉(zhuǎn)化為方程 .用換元法,令，有，代入得 ，即，解之得 .于是 或 ，解之得 ， .所以 == .９ 與首末兩項(xiàng)等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等且最高次
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