高中各種函數(shù)圖像及其性質(zhì)精編版資料(參考版)
2025-06-19 21:17本頁面
【正文】 函數(shù)（a0,b0）在區(qū)間（∞，）上是增函數(shù)，在區(qū)間（，0）上是減函數(shù)。函數(shù)（a0,b0）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)。無論取任何實(shí)數(shù)，冪函數(shù)的圖象必然經(jīng)過第一象限，并且一定不經(jīng)過第四象限。 對(duì)數(shù)函數(shù)由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域(∞，+∞)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，并記為y=logax(a＞0，a≠1).因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)?∞，+∞)，值域?yàn)?0，+∞)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的定義域?yàn)?0，+∞)，值域?yàn)?∞，+∞).對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對(duì)稱于直線y=x. 據(jù)此即可以畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1)的性質(zhì)，我們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中作出函數(shù)y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草圖由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1).圖象a＞1a＜1性質(zhì)(1)x＞0(2)當(dāng)x=1時(shí)，y=0(3)當(dāng)x＞1時(shí)，y＞00＜x＜1時(shí)，y＜0(3)當(dāng)x＞1時(shí)，y＜00＜x＜1時(shí)，y＞0(4)在(0，+∞)上是增函數(shù)(4)在(0，+∞)上是減函數(shù)補(bǔ)充性質(zhì)設(shè)y1=logax y2=logbx其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1)當(dāng)x＞1時(shí)“底大圖低”即若a＞b則y1＞y2當(dāng)0＜x＜1時(shí)“底大圖高”即若a＞b，則y1＞y2比較對(duì)數(shù)大小的常用方法有：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.(2)若底數(shù)為同一字母，則按對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助0、1等中間量進(jìn)行比較.名稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a＞0，a≠1)y=logax(a＞0，a≠1)定義域(∞，+∞)(0，+∞)值域(0，+∞)(∞，+∞)函數(shù)值變化情況當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)a＞1時(shí)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，單調(diào)性當(dāng)a＞1時(shí)，ax是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，ax是減函數(shù).當(dāng)a＞1時(shí)，logax是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=logax的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.冪函數(shù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)隨著的不同，定義域、值域都會(huì)發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法．熟練掌握，當(dāng)?shù)膱D像和性質(zhì)，列表如下．從中可以歸納出以下結(jié)論：① 它們都過點(diǎn)，除原點(diǎn)外，任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限．② 時(shí)，冪函數(shù)圖像過原點(diǎn)且在上是增函數(shù)．③ 時(shí)，冪函數(shù)圖像不過原點(diǎn)且在上是減函數(shù)．④ 任何兩個(gè)冪函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn)．奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增減性在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞減冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律是：①所有冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像都過點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖像都過原點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如）；④當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如）⑤當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如）⑥當(dāng)時(shí)，的的圖像不過原點(diǎn)，且在第一象限是“下滑”曲線（如）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點(diǎn)；（2）在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；（3）在第一象限內(nèi)，時(shí)，圖象是向下凸的；時(shí)，圖象是向上凸的；（4）在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)后，圖象向右上方無限伸展。比較冪式大小的方法：1. 當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；2
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