孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第三章能帶論課件33緊束縛近似(參考版)
2025-06-15 18:47本頁(yè)面
【正文】 證明： (),1 mlik R RmlkeN ?? ??,ml?若 ： 3121 2 31 2 3lllk b b bN N N? ? ?1 1 2 2 3 3m l sR R R s a s a s a? ? ? ? ?331 1 2 21 2 32 ππ) 2( 2 πm l slslkR s l sN N NR k R???? ??3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 23121 2 3 3121 1 33123123121 2 312 32222 22()()1 1 12222 2 21 1 11 1 1 1011 1mliil s l sl s l s l s l sNN NNii iiik N N N NNNl l l lksssiNi N i NNNNs s sii iNRN NRe e e e eN N Ne e eNee e???? ?????? ? ???? ? ????? ? ????? ?? ? ? ? ?,ml?若 ： ()1 e1mlik R RkN? ??つづき 。反成鍵態(tài)之間對(duì)應(yīng)的 4個(gè)能帶交疊在一起 ,形成 Si或 Ge晶體的 導(dǎo)帶 . ( ) ( )hk k Grr?? ??所以可以將 按正格矢作傅里葉展開(kāi) ()nk r?1( ) ( , ) mmi k RnmnkRr a R r eN? ?? ? 我們已知在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)一定是布洛赫波函數(shù)，而布洛赫波函數(shù)在 空間具有周期性，即： k二、 萬(wàn)尼爾函數(shù) (Wannier function) 把 展開(kāi)系數(shù) 中的 稱(chēng)為 萬(wàn)尼爾函數(shù) ( , )nma R r 1( , ) ( )mi k Rnm nkka R r e rN???? ?1( , ) ( )mik R ik rnm kka R r e e u rN?? ?? ?() 1 ()1 ()mmnkik r Rmkkke u r RNNrR???? ?? ???()nma r R?? (Wannier)函數(shù)的重要特征 ( ) ( )ik rn k kr e u r? ??由布洛赫定理 ( ) = ( )nkku r u r R?且： (1) 此函數(shù)是以格點(diǎn) 為中心的波包，因而具有定域的特性； mR比較可得 (2)不同能帶、不同格點(diǎn)的萬(wàn)尼爾函數(shù)是正交的 ,即 : ( ) ( )n m n l n n m la r R a r R d ? ? ?? ???? ? ??( , )nma R r 1 ()mnkkrRN????()nma r R?? 此式表明 萬(wàn)尼爾函數(shù)僅依賴(lài)于 mrR?rmR0 mrR? 所以 ,萬(wàn)尼爾函數(shù)是 以格點(diǎn) 為中心的波包 ,亦即以該格點(diǎn)為中心的局域函數(shù)； mR,n n m l????///,),(1 mlnn ki k R k RkkkeN ?? ???? ??1( , ) ( )mi k Rnm nkka R r e rN???? ?( ) ( )n m n la r R a r R d ???? ???() ( ) ( )1 mli k Rn k nkkRkkr r deN? ? ??? ???? ? ???? ??萬(wàn)尼爾函數(shù)的特性表明 , 是定域的波函數(shù) ,即 遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)時(shí) , 小到可以忽略 .此時(shí)萬(wàn)尼爾函數(shù) 可由孤立原子的波函數(shù) 近似代替 ()nma r R?()atimrR? ?mrR?()nma r R?()nma r R?不同格點(diǎn)萬(wàn)尼爾函數(shù)的正交性，進(jìn)一步說(shuō)明了它的局域特性 (),1 mlik R RnnkeN ??? ?? ?* ( ) ( )n m n mnma r R a r R?????(3) 萬(wàn)尼爾函數(shù)的完備性 () *,1 ( ) ( )mi k k Rn k n kmnkke r rN ????? ???? ? ? ? ?*, , ,( ) ( )k k n k n knkk rr? ? ???? ?? ? ? ?*,( ) ( )n k n knk rr?? ?? ??()rr? ???其中用到了 (),1 mi k k RkkmeN ???? ??? 所以 , 萬(wàn)尼爾函數(shù) 可 作為研究晶體中電子行為的另一個(gè)表象 .而 緊束縛近似的晶體電子波函數(shù)可看成是 萬(wàn)尼爾函數(shù)的線(xiàn)性組合的特例。 [ 2 ( 1 ) ] [ ( ) ( ) ][ 2 ( 1 ) ] [ ( ) ( ) ]iiiiib h m h mia h m h ms r R r Rs r R r R? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???根據(jù) 鍵軌道近似 的思想 ,不考慮成鍵態(tài)和反成鍵態(tài)之間的耦合 ,可以認(rèn)為 成鍵態(tài)對(duì)應(yīng)的 4個(gè)能帶是交疊在一起的 ,從而形成 Si或 Ge晶體的 價(jià)帶 。 此外，也可以按照雜化軌道的概念考慮，即 Si或 Ge原子的 s態(tài)和 p態(tài)電子軌道先雜化，形成 4個(gè) sp3雜化(sp3 hybrid)軌道，即 ????1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )mxmxy mymzzi k Rs atsmkmp i k R atpmkmp i k R atpmkmi k Rp atpmkmr e r RNr e r R
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