孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第三章能帶論課件33緊束縛近似(存儲(chǔ)版)
【正文】 之間形成成鍵態(tài)(bonding state)b和反成鍵態(tài) (antibonding state)a，即 式中 i =1， 2， 3， 4。 證明： (),1 mlik R RmlkeN ?? ??,ml?若 ： 3121 2 31 2 3lllk b b bN N N? ? ?1 1 2 2 3 3m l sR R R s a s a s a? ? ? ? ?331 1 2 21 2 32 ππ) 2( 2 πm l slslkR s l sN N NR k R???? ??3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 23121 2 3 3121 1 33123123121 2 312 32222 22()()1 1 12222 2 21 1 11 1 1 1011 1mliil s l sl s l s l s l sNN NNii iiik N N N NNNl l l lksssiNi N i NNNNs s sii iNRN NRe e e e eN N Ne e eNee e???? ?????? ? ???? ? ????? ? ????? ?? ? ? ? ?,ml?若 ： ()1 e1mlik R RkN? ??つづき 。 比如具有金剛石結(jié)構(gòu)的硅 (3s23p2)或鍺 (4s24p2)，它們的能帶電子就是屬于 s態(tài)和 p態(tài)之間的相互作用，加上兩個(gè)不等價(jià)原子的影響 (相對(duì)位移為 τ，等于體對(duì)角線的1/4)，對(duì)應(yīng) 8個(gè)態(tài)的線性組合。對(duì)于 py態(tài)和 pz態(tài)，有類似的分析。(0,0,177。 a，0， 0)， (0， 177。 nR()atinrR? ?nRati? /? ()ma t mRH V r R? ???rnRO nrR?其中 為孤立原子中電子的哈密頓 為其它原子的周期微擾勢(shì)。 ()imrR? ?( ) ( )nn i nRr a r R????? * ( ) ( )i n i m m nr R r R d r? ? ?? ? ??由布洛赫定理，組合后的波函數(shù) ( ) ( )nn i nRr a r R?????應(yīng)為 布洛赫函數(shù) 為此取 1nik RnaeN??則晶體中的單電子波函數(shù)變?yōu)椋? 1( ) ( )nnik RinkRr e r RN?? ????下面驗(yàn)證 為布洛赫函數(shù) ()k r?()1( ) ( )mmnnRikmnkRRmiRr R rNRe R?? ????? ???1( ) ( )nni k RinkRr e r RN?? ????()1 )()(nnmmRRnmi k i k RiRRRe e rN????? ???n m lR R R??令 ：1 ()m llik RR ikilRe r RNe ??? ?? ?()m kik Re r???得證。第三節(jié) 緊 束 縛 近 似 (tight binding approximation) 本節(jié)主要內(nèi)容 : 一、緊束縛近似的模型及其能帶 二、 萬(wàn)尼爾函數(shù) (Wannier function) 近自由電子近似是把晶體中運(yùn)動(dòng)的電子看作在弱周期場(chǎng)中接近自由運(yùn)動(dòng)的一種極端的情形，適用于金屬中的傳導(dǎo)電子。 構(gòu)成晶體后 ,原子相互靠近 ,有了相互作用 ,簡(jiǎn)并解除 ,晶體中電子作 共有化運(yùn)動(dòng) . 如果把原子之間的相互作用看成微擾，則晶體中的單電子波函數(shù)看成是 N個(gè)簡(jiǎn)并的原子軌道波函數(shù)的線性組合，即 ( ) ( )nn i nRr a r R????? 近似認(rèn)為不同原子的軌道交疊甚小而正交，同一原子的軌道波函數(shù)歸一，即 * ( ) ( )i n i m m nr R r R d r? ? ?? ? ??()r? 的上述取法稱為 原子軌道線性組合法 (LCAO) 即晶體中的 電子作共有化運(yùn)動(dòng)， 其共有化軌道由原子軌道 的線性組合構(gòu)成。 表示孤立原子的電子波函數(shù) 。所以近鄰近似下 ()atisrR? ?()atinrR? ?snRR?snRR?? ()/() nsni R Rati i s s nRksk J e J???? ? ? ? 近鄰原子的波函數(shù)重疊愈多 ， 的值愈大 ,能帶將愈寬 .由此可見(jiàn) :與原子 內(nèi)層電子 所對(duì)應(yīng)的能帶較窄 ,而且 不同原子態(tài) 所對(duì)應(yīng)的 和 是不同的 . snJssJ snJ 實(shí)際計(jì)算時(shí)，常把 Rs取作坐標(biāo)原點(diǎn)，則在只考慮最近鄰時(shí)的緊束縛近似能量本征值為 ()() nsni k R Rati i s s s nRk J e J?? ??? ? ? ?近 鄰0()nnik Rati i nRk J e J?? ?? ? ? ?近 鄰 s態(tài)形成的能帶 由于 s態(tài)波函數(shù)是球形對(duì)稱的 ,因而重疊積分 Jsn僅與 Rs、 Rn 原子間距有關(guān) ,只要原子間距相等 ,重疊積分就相等 . 對(duì)于簡(jiǎn)立方最近鄰原子有 6個(gè)，以 Rs = 0處原子為參考原子， 6個(gè)最近鄰原子的坐標(biāo)為： (177。 2π/a,0)。 a， 0， 0)重疊積分最大，用 J1表示；其它四個(gè)最近鄰較小且彼此相等，用 J2表示。 如考慮同一主量子數(shù)中的 s態(tài)和 p態(tài)之間的相互作用，則先分別考慮不同量子態(tài)，即 然后取不同量子態(tài)的 線性組合 來(lái)描述能帶電子，即 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )yx zpp ps p sk k k k kr r r r? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 將組合后的波函數(shù) 代入薛定諤方程 ，就可以得到組合系數(shù)和 能量本征值 對(duì)同一主量子數(shù)中的s態(tài)和 p態(tài)之間的相
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