孫會元固體物理基礎(chǔ)第三章能帶論課件33緊束縛近似(已修改)
2025-06-24 18:47 本頁面
【正文】 第三節(jié) 緊 束 縛 近 似 (tight binding approximation) 本節(jié)主要內(nèi)容 : 一、緊束縛近似的模型及其能帶 二、 萬尼爾函數(shù) (Wannier function) 近自由電子近似是把晶體中運動的電子看作在弱周期場中接近自由運動的一種極端的情形，適用于金屬中的傳導(dǎo)電子。緊束縛近似則是另一種極端的模型，是 1928年布洛赫提出的第一個能帶計算方法 緊束縛近似認為晶體中的電子態(tài)與組成晶體的原子在其自由原子態(tài)時差別不大， 晶體電子的波函數(shù)可以用原子軌道線性組合來構(gòu)成 ，因而較適合于原子較內(nèi)層的電子的情況。緊束縛近似得到的結(jié)果除了使布洛赫電子的波函數(shù)和能帶進一步具體化以外，還 能初步解釋半導(dǎo)體和絕緣體中所有電子的能帶 ，尤其對過渡族金屬中的 3d電子的能帶比較適用。 一、緊束縛近似的模型及其能帶 — 原子軌道線性組合 (LCAO) (Linear Combination of Atomic Orbitals) 緊束縛近似 認為晶體中的電子在某個原子附近時主要受該 原子勢場 的作用，以 孤立原子的電子態(tài)作為零級近似 ， 其它原子的作用是次要的，被看作微擾 。因而較適合于原子較內(nèi)層的電子的情況。 ()at mV r R? 假設(shè)原子位于簡單晶格的格點上 ,格矢 : ，有一個電子在其附近運動，若不考慮其它原子的影響，則電子滿足孤立原子中運動的薛定諤方程 1 1 2 2 3 3nR n a n a n a? ? ?電子運動的薛定諤方程 22? ( ) ( ) ( ) ( )2ata t i n a t n i n i i nH r R V r R r R r Rm? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????()at mV r R? 是單原子勢 ,i 表示原子中的 某一量子態(tài) ()inrR? ? 是與本征能量 對應(yīng)的本征態(tài) ati? 設(shè)簡單晶體是由 N個原子組成，則 N個原子有N個類似的波函數(shù) 對應(yīng)同一個能級 ，因而是 N重簡并的。 i?ati?如 1s， 2s， 2p， … 等量子態(tài)。 構(gòu)成晶體后 ,原子相互靠近 ,有了相互作用 ,簡并解除 ,晶體中電子作 共有化運動 . 如果把原子之間的相互作用看成微擾，則晶體中的單電子波函數(shù)看成是 N個簡并的原子軌道波函數(shù)的線性組合，即 ( ) ( )nn i nRr a r R????? 近似認為不同原子的軌道交疊甚小而正交，同一原子的軌道波函數(shù)歸一，即 * ( ) ( )i n i m m nr R r R d r? ? ?? ? ??()r? 的上述取法稱為 原子軌道線性組合法 (LCAO) 即晶體中的 電子作共有化運動， 其共有化軌道由原子軌道 的線性組合構(gòu)成。 ()imrR? ?( ) ( )nn i nRr a r R????? * ( ) ( )i n i m m nr R r R d r? ? ?? ? ??由布洛赫定理，組合后的波函數(shù) ( ) ( )nn i nRr a r R?????應(yīng)為 布洛赫函數(shù) 為此取 1nik RnaeN??則晶體中的單電子波函數(shù)變?yōu)椋? 1( ) ( )nnik RinkRr e r RN?? ????下面驗證 為布洛赫函數(shù) ()k r?()1( ) ( )mmnnRikmnkRRmiRr R rNRe R?? ????? ???1( ) ( )nni k RinkRr e r RN?? ????()1 )()(nnmmRRnmi k i k RiRRRe e rN????? ???n m lR R R??令 ：1 ()m llik RR ikilRe r RNe ??? ?? ?()m kik Re r???得證。 1( ) ( )nni k RinkRr e r RN?? ????歸一化因子 晶體電子的波函數(shù) 1( ) ( )nni k RinkRr e r RN?? ???? 如果晶體是由 N個相同的原子構(gòu)成的布拉維晶格 ,則每個原子附近都有一個能量為 的束縛態(tài)波函數(shù) (假定 對單個原子來說 是非簡并的 ),因此在不考慮原子間相互作用時 ,對整個晶體而言 應(yīng)有 N個類似的方程 . ati?i? i?rnRO nrR?1( ) ( )nni k RinkRr e r RN?? ???? 即 用孤立原子的電子波函數(shù) 的線性組合來構(gòu)成晶體中電子共有化運動的波函數(shù) ，因此 緊束縛近似也稱為原子軌道線性組合法 ,簡稱 LCAO。 ati?這些波函數(shù)對應(yīng)于同樣的能量 是 N重簡并的 (對整個晶體而言 )?？紤]到微擾后，晶體中電子運動波函數(shù)應(yīng)為 N個原子軌道波函數(shù) 的線性組合 ati?12()()()iiatiiNrRrRrR????? ??????? ??????? 晶體中的電子在某個原子附近時主要受 該原子勢場 的作用， 其它原子的作用視為微擾來處理 ，所以，周期勢為 )( nRrV ?? ? ? ? 39。( ) ( )ma t n a t mRV r V r R V r R? ? ? ??1 1 2 2 3 3()a t n nR n a n a n aV r R ? ? ?? 表 示 位 于 的 孤 立 原 子 在mmnRr R R?? /處 的 勢 場 ， 表 示 求
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