孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第三章能帶論課件33緊束縛近似(編輯修改稿)
2024-07-09 18:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 nJssJ snJ 實(shí)際計(jì)算時(shí)，常把 Rs取作坐標(biāo)原點(diǎn)，則在只考慮最近鄰時(shí)的緊束縛近似能量本征值為 ()() nsni k R Rati i s s s nRk J e J?? ??? ? ? ?近 鄰0()nnik Rati i nRk J e J?? ?? ? ? ?近 鄰 s態(tài)形成的能帶 由于 s態(tài)波函數(shù)是球形對(duì)稱的 ,因而重疊積分 Jsn僅與 Rs、 Rn 原子間距有關(guān) ,只要原子間距相等 ,重疊積分就相等 . 對(duì)于簡立方最近鄰原子有 6個(gè)，以 Rs = 0處原子為參考原子， 6個(gè)最近鄰原子的坐標(biāo)為： (177。 a，0， 0)， (0， 177。 a， 0)， (0， 0， 177。 a)，其中 a為晶格常數(shù)。 對(duì) 6個(gè)最近鄰原子，由于原子間距相等， Jsn具有相同的值，令 Jsn=J1，并用 J0表示 Jss，則在最近鄰近似下能量本征值為 01 2 ( c o s c o s c o s )ats x y zJ J k a k a k a?? ? ? ? ?01 ()yyxx zzi k a i k ai k a i k a i k a i k aats J J e e e e e e??? ?? ? ? ? ? ? ? ?在 簡約布里淵區(qū)中心 kx＝ ky＝ kz=0處， 能量有 最小值 ， 稱為 能帶底 m i n 0 1( ) 6atss JJ?? ? ? ?( , 0 , 0) ( 0 , , 0) ( 0 , 0 , )aaa?????? ??0() nni k Rats s nRk J e J?? ?? ? ? ?近 鄰在 簡約布里淵區(qū)邊界 kx， ky， kz= 處 ， 能量有 最大值： aπ?m a x 0 1( ) 6atss JJ?? ? ? ?稱為 能帶頂 。 在最近鄰近似下能量本征值為 能帶的寬度 ： m a x m i n 1( ) ( ) 1 2ss J? ? ?? ? ? ?面心立方有 12個(gè)最近鄰 ，同樣可以得到 以上是 簡立方 的結(jié)果，類似的我們可以得到體心立方 和 面心立方 的結(jié)果 原子能級(jí)分裂成能帶 體心立方有 8個(gè)最近鄰 ，代入公式計(jì)算得 01( ) 8 c os c os c os2 2 2yat x zsskaka kak J J?? ? ? ?01( ) 4 [ c os c os c os c os c os c os ]2 2 2 2 2 2yyat xxzzssk a k ak a k ak a k ak J J?? ? ? ? ? ? 體心立方和面心立方的 帶底 都在布里淵區(qū)中心 ,帶頂 在 (177。 2π/a,0,0)。(0,177。 2π/a,0)。(0,0,177。 2π/a)處 ,相應(yīng)的 能帶的寬度 都為 : m a x m i n 1( ) ( ) 1 6ss J? ? ?? ? ? ?從上面的討論可知 ,能帶從原子能級(jí)演化而來 ,能帶寬度取決于交疊積分的大小和近鄰原子數(shù)目 . 對(duì)于能量較低的原子的內(nèi)層電子 ,電子軌道很小,不同原子間很少相互重疊 ,因此與之相應(yīng)的能帶較窄 。能量較高的外層電子 ,則不同原子間將有較多的軌道重疊 ,因此與之相應(yīng)的能帶較寬 . 因此 ,可以預(yù)料 ,波函數(shù)重疊程度越大 ,配位數(shù)越大 ,能帶越寬 ,反之 ,能帶越窄 . 對(duì)于其它狀態(tài)的電子 ,如 p電子、 d電子 等 ,這些狀態(tài)對(duì)應(yīng)的原子能級(jí)是 簡并 的 (如： p態(tài)為三重簡并， d態(tài)為五重簡并等 ),對(duì)應(yīng)的各簡并能帶是相互交疊的 .這時(shí) ,每個(gè)能帶中的能級(jí)數(shù)與原子數(shù)或原胞數(shù)相等的說法應(yīng)該作修改 . 上面討論的是最簡單的情況， 只適用于 s態(tài)電子 ， 一個(gè)原子能級(jí) 對(duì)應(yīng)一個(gè) 能帶 ； ati?如簡立方的 p電子為三重簡并態(tài) ( ) 。 ( ) 。 ( )x y zp p px f r y f r z f r? ? ?? ? ? 這三個(gè) p電子軌道在簡立方晶格中各自形成一個(gè)能帶，按照緊束縛近似，其晶體電子波函數(shù)為各自原子軌道的線性疊加 各自能帶的能量本征值仍然滿足前面的式子 ,只是近鄰重疊積分不再完全相同 . ???1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )xmxy mymzzp ik Rpmkmp ik Rpmkmik Rppmkmr e r RNr e r RNr e r RN????????????????????????( ) 。 ( ) 。 ( )x y zp p px f r y f r z f r? ? ?? ? ?()() nsni k R Rati i s s s nRk J e J?? ??? ? ? ?近 鄰 比如對(duì)于 px態(tài)，電子云主要集中在 x軸方向，因而沿 x軸的 (177。 a， 0， 0)重疊積分最大，用 J1表示；其它四個(gè)最近鄰較小且彼此相等，用 J2表示。對(duì)于 py態(tài)和 pz態(tài)，有類似的分析。從而由公式可得 px態(tài)、 py態(tài)和 pz態(tài)各自能帶的能量本征值 考慮到原子 p態(tài)是奇宇稱的，比如對(duì)于 px態(tài)， x點(diǎn)與 x點(diǎn)的波函數(shù)是異號(hào)的； py態(tài)和 pz態(tài)與此類同，所以重疊積分 J1 0， J2 0。此外，沿 kx方向看， py和 pz兩個(gè)能帶是簡并的。 0 1 20 1 20 1 2( ) 2 c o s 2 ( c o s c o s )( ) 2 c o s 2 ( c o s c o s )( ) 2 c o s 2 ( c o s c o s )xyzatp p x y zatp p y x zatp p z y xk J J k a J k a k ak J J k a J k a k ak J J k a J k a k a??????? ? ? ? ? ???? ?
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