孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第三章能帶論課件33緊束縛近似-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 m? ? ? ? ? ? ? ? ??220? ()2 a t nH V r Rm? ? ? ? ? 如果不考慮原子間的相互影響，在格點(diǎn) 附近的電子將以原子束縛態(tài) 繞 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。 ati?這些波函數(shù)對(duì)應(yīng)于同樣的能量 是 N重簡(jiǎn)并的 (對(duì)整個(gè)晶體而言 )。 i?ati?如 1s， 2s， 2p， … 等量子態(tài)。緊束縛近似得到的結(jié)果除了使布洛赫電子的波函數(shù)和能帶進(jìn)一步具體化以外，還 能初步解釋半導(dǎo)體和絕緣體中所有電子的能帶 ，尤其對(duì)過(guò)渡族金屬中的 3d電子的能帶比較適用。緊束縛近似則是另一種極端的模型，是 1928年布洛赫提出的第一個(gè)能帶計(jì)算方法 緊束縛近似認(rèn)為晶體中的電子態(tài)與組成晶體的原子在其自由原子態(tài)時(shí)差別不大， 晶體電子的波函數(shù)可以用原子軌道線性組合來(lái)構(gòu)成 ，因而較適合于原子較內(nèi)層的電子的情況。 ()at mV r R? 假設(shè)原子位于簡(jiǎn)單晶格的格點(diǎn)上 ,格矢 : ，有一個(gè)電子在其附近運(yùn)動(dòng)，若不考慮其它原子的影響，則電子滿足孤立原子中運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程 1 1 2 2 3 3nR n a n a n a? ? ?電子運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程 22? ( ) ( ) ( ) ( )2ata t i n a t n i n i i nH r R V r R r R r Rm? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????()at mV r R? 是單原子勢(shì) ,i 表示原子中的 某一量子態(tài) ()inrR? ? 是與本征能量 對(duì)應(yīng)的本征態(tài) ati? 設(shè)簡(jiǎn)單晶體是由 N個(gè)原子組成，則 N個(gè)原子有N個(gè)類似的波函數(shù) 對(duì)應(yīng)同一個(gè)能級(jí) ，因而是 N重簡(jiǎn)并的。 1( ) ( )nni k RinkRr e r RN?? ????歸一化因子 晶體電子的波函數(shù) 1( ) ( )nni k RinkRr e r RN?? ???? 如果晶體是由 N個(gè)相同的原子構(gòu)成的布拉維晶格 ,則每個(gè)原子附近都有一個(gè)能量為 的束縛態(tài)波函數(shù) (假定 對(duì)單個(gè)原子來(lái)說(shuō) 是非簡(jiǎn)并的 ),因此在不考慮原子間相互作用時(shí) ,對(duì)整個(gè)晶體而言 應(yīng)有 N個(gè)類似的方程 . ati?i? i?rnRO nrR?1( ) ( )nni k RinkRr e r RN?? ???? 即 用孤立原子的電子波函數(shù) 的線性組合來(lái)構(gòu)成晶體中電子共有化運(yùn)動(dòng)的波函數(shù) ，因此 緊束縛近似也稱為原子軌道線性組合法 ,簡(jiǎn)稱 LCAO。0? ? ?( ) ( )2 ma t n a t mRH V r R V r R H Hm? ? ? ? ? ? ? ? ??22 / 39。 0? ( ) ( )ati n i i nH r R r R? ? ?? ? ?(1)孤立原子情形下電子的運(yùn)動(dòng)方程 孤立原子中的電子能級(jí) ， i 表示 所處能級(jí) 1s， 2s， 2p等 。 ( ) ( )( ) 0nnnnisi k R i k Rati atsnRmiiRne r R V r R r R dke ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ?? ? ????? ??由于其它原子的微擾勢(shì)通常是小于零的，所以上式中定義的 Jsn是一個(gè)大于零的量 ，表示相距為 RsRn的兩個(gè)格點(diǎn)上的波函數(shù)的 重疊積分。 a， 0)， (0， 0， 177。 2π/a,0,0)。 2π/a)處 ,相應(yīng)的 能帶的寬度 都為 : m a x m i n 1( ) ( ) 1 6ss J? ? ?? ? ? ?從上面的討論可知 ,能帶從原子能級(jí)演化而來(lái) ,能帶寬度取決于交疊積分的大小和近鄰原子數(shù)目 . 對(duì)于能量較低的原子的內(nèi)層電子 ,電子軌道很小,不同原子間很少相互重疊 ,因此與之相應(yīng)的能帶較窄 。 ( ) 。從而由公式可得 px態(tài)、 py態(tài)和 pz態(tài)各自能帶的能量本征值 考慮到原子 p態(tài)是奇宇稱的，比如對(duì)于 px態(tài)， x點(diǎn)與 x點(diǎn)的波函數(shù)是異號(hào)的； py態(tài)和 pz態(tài)與此類同，所以重疊積分 J1 0， J2 0。 ????1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )mxmxy mymzzi k Rs a tsmkmp i k R atpmkmp i k R atpmkmi k Rp atpmkmr e r RNr e r RNr e r RNr e r RN???????????????????? ????? ????????換言之，晶體的一個(gè)能帶可能是由原子的不同量子態(tài)組成的。設(shè)兩個(gè)原子分別為 A和 B，則除了和 (1)式完全相同的描述 A原子的 4個(gè)態(tài)，還有類似的 4個(gè)態(tài)描述 B原子，可把 (1)式的孤立原子波函數(shù)換為 ????1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )mxmxy mymzzi k Rs atsmkmp i k R atpmkmp i k R atpmkmi k Rp atpmkmr e r RNr e r RNr e r RNr e r RN? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ? ????? ? ????? ? ? ???? ? ? ???????這樣，硅 (3s23p2)或鍺 (4s24p2)的價(jià)帶和導(dǎo)帶可以看成上述 8個(gè)態(tài)的線性組合。反成鍵態(tài)之間對(duì)應(yīng)的 4個(gè)能帶交疊在一起 ,形成 Si或 Ge晶體的 導(dǎo)帶 . 根據(jù) 鍵軌道近似 的思想 ,不考慮成鍵態(tài)和反成鍵態(tài)之間的耦合 ,可以認(rèn)為 成鍵態(tài)對(duì)應(yīng)的 4個(gè)能帶是交疊在一起的 ,從而形成 Si或 Ge晶體的 價(jià)帶
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