【正文】 原來(lái)買(mǎi)來(lái)蘋(píng)果和。從下層拿5本放入上層后，上層的本數(shù)正好是下層的5倍。練習(xí)2：，后來(lái)二人各買(mǎi)了3張，這樣小明的畫(huà)片就是小紅的2倍。因此，后來(lái)乙組有圖書(shū)（18＋6）247。原來(lái)甲組有圖書(shū)多少本？【思路導(dǎo)航】甲組的圖書(shū)是乙組的3倍，若乙組拿出6本，甲組相應(yīng)的也拿出63=18本，則甲組仍是乙組的3倍。兩根繩子原來(lái)各長(zhǎng)多少米？，賣(mài)掉40個(gè)蘋(píng)果和15個(gè)梨后，剩下的梨是蘋(píng)果的6倍。練習(xí)1：，如果把這個(gè)0去掉，就得到另一個(gè)加數(shù)。（3－1）=4（厘米）。原來(lái)兩根鐵絲各長(zhǎng)多少厘米？【思路導(dǎo)航】由于第二根比第一根多剪去26－18=8厘米，所以剩下的鐵絲第一根就比第二根多（3－1）倍。解答倍數(shù)問(wèn)題，必須先確定一個(gè)數(shù)（通常選用較小的數(shù)）作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，即1倍數(shù)，再根據(jù)其它幾個(gè)數(shù)與這個(gè)1倍數(shù)的關(guān)系，確定“和”或“差”相當(dāng)于這樣的幾倍，最后用除法求出1倍數(shù)。練習(xí)5：，每塊長(zhǎng)8厘米、寬5厘米、高3厘米。要求表面積和最大，應(yīng)該增加4個(gè)65=30平方厘米的面。練習(xí)4：，然后切成1立方厘米的小正方體，這些小正方體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個(gè)面都沒(méi)有涂色的各有多少個(gè)？，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩面被涂上紅色的小正方體共有24個(gè)，那么，這些小正方體一共有多少個(gè)？，然后切成1立方分米的小正方體，在這些小正方體中，六個(gè)面都沒(méi)有涂色的有多少個(gè)？【例題5】 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個(gè)體積相等的小長(zhǎng)方體，這三個(gè)小長(zhǎng)方體表面積的和最大是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】這個(gè)長(zhǎng)方體原來(lái)的表面積是（65＋64＋54）2=148平方厘米，每切割一刀，增加2個(gè)面。如果按下圖把它切成棱長(zhǎng)是1分米的小正方體，這些小正方體的表面積的和是多少？想一想：在切的過(guò)程中，每切一切，就會(huì)增加兩個(gè)33平方分米的面，你能用這種思路來(lái)計(jì)算所求問(wèn)題嗎？練習(xí)3：，至少需要多少個(gè)小正方體？如果要擺一個(gè)棱長(zhǎng)是6厘米的正方體，需要多少個(gè)小正方體？，長(zhǎng)10厘米、寬6厘米、高4厘米，如果把它鋸成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，一共能鋸多少個(gè)？這些小正方體的表面積和是多少？，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積至少是多少平方厘米？【例題4】 一個(gè)正方體的表面涂滿(mǎn)了紅色，然后如下圖切開(kāi)，切開(kāi)的小正方體中：（1）三個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？（2）二個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？（3）一個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？（4）六個(gè)面都沒(méi)有涂色的有幾個(gè)？【思路導(dǎo)航】按題中的要求切，切成的小正方體一共有333=27個(gè)。所以原正方體的表面積是126=72平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？【例題2】 有一個(gè)正方體木塊，把它分成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，表面積增加了24平方厘米，這個(gè)正方體木塊原來(lái)的表面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】把正方體分成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，增加了兩個(gè)面，每個(gè)面的面積是24247。因此，鋸好后表面積增加432平方厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？第15講 長(zhǎng)方體和正方體(三)一、知識(shí)要點(diǎn)解答有關(guān)長(zhǎng)方體和正方體的拼、切問(wèn)題，除了要切實(shí)掌握長(zhǎng)方體、正方體的特征，熟悉計(jì)算方法，仔細(xì)分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。所以，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是30立方厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？【思路導(dǎo)航】長(zhǎng)方體不同的三個(gè)面的面積分別是長(zhǎng)寬、長(zhǎng)高、寬高得來(lái)的?，F(xiàn)把乙缸中的水倒進(jìn)甲缸，水在甲缸里深幾分米？，現(xiàn)把它煅造成一根長(zhǎng)方體，這長(zhǎng)方體的截面是一個(gè)長(zhǎng)4厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形，求它的長(zhǎng)。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來(lái)，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？【思路導(dǎo)航】首先求出水的體積：30206=3600（立方厘米）。取出鐵后。有一根長(zhǎng)50厘米，橫截面是12平方厘米的長(zhǎng)方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。把一塊假山石浸入水中后。如果把一塊邊長(zhǎng)2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？【思路導(dǎo)航】鐵塊的體積是222=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空間，因此，水上升的體積也就是8立方分米，用這個(gè)體積除以底面積（54）就能得到水上升的高度了。，已知這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是13厘米，寬7厘米，求它的高。練習(xí)2：，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。用同樣的方法求出另兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)：96=6（44），棱長(zhǎng)是4厘米；150=6（55），棱長(zhǎng)是5厘米。【例題2】 將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積。這時(shí)水面高多少厘米？。問(wèn)水面高多少？，從面量長(zhǎng)40厘米、寬30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。練習(xí)1：，甲水池長(zhǎng)8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長(zhǎng)6分米、寬和高都是4分米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？【思路導(dǎo)航】由于后來(lái)兩個(gè)水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個(gè)水箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）水面的高度。二、精講精練【例題1】 有兩個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。第14講 長(zhǎng)方體和正方體（二）一、知識(shí)要點(diǎn)在長(zhǎng)方體、正方體問(wèn)題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情況：把一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體；把兩個(gè)物體熔化后鑄成一個(gè)物體；把一個(gè)物體浸入水中，物體在水中會(huì)占領(lǐng)一部分的體積。練習(xí)5：，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？、寬、高是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，體積是96立方厘米，求它的表面積。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積各是多少？【思路導(dǎo)航】長(zhǎng)方體的前面和上面的面積是長(zhǎng)寬＋長(zhǎng)高=長(zhǎng)（寬＋高），由于此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=1119=11（17＋2），即長(zhǎng)、寬、高分別為112厘米。，每個(gè)正方體的體積都是1立方厘米，用這些正方體可以拼成幾種不同的長(zhǎng)方體？用圖畫(huà)出來(lái)。大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是122=24厘米，寬12厘米，高是8＋3=11厘米，表面積就不難求了。我們用a、b、h分別表示小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，顯然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，磚的體積是a*2/3a*1/4a=1/6a3。已知每塊磚的體積是288立方厘米，求大長(zhǎng)方體的表面積。練習(xí)3：，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的和減少了46平方厘米，而長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)方體的2倍。4=（平方厘米）。，從它的一個(gè)頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的正方體后，剩下物體的體積和表面積各是多少？（如圖），那么得到的物體的體積和表面積各是多少？【例題3】 一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成了一個(gè)新的長(zhǎng)方體，拼成的長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積增加了50平方厘米。練習(xí)2：，求它的體積和表面積。想一想：你還能用別的方法來(lái)計(jì)算它的體積嗎？練習(xí)1：，寬1厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體，被切去一塊后（如圖），剩下部分的表面積和體積各是多少？，表面積增加了2平方分米，求這根木料原來(lái)的體積。二、精講精練【例題1】 一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】（1）可以把零件沿虛線(xiàn)分成兩部分來(lái)求它的體積，左邊的長(zhǎng)方體體積是1042=80（立方厘米），右邊的長(zhǎng)方體的體積是10（6－2）2=80（立方厘米），整個(gè)零件的體積是802=160（立方厘米）；（2）求這個(gè)零件的表面積，看起來(lái)比較復(fù)雜，其實(shí)，朝上的兩個(gè)面的面積和正好與朝下的一個(gè)面的面積相等；朝右的兩個(gè)面的面積和正好與朝左的一個(gè)面的面積相等。旅游團(tuán)共有多少人？第13講 長(zhǎng)方體和正方體（一）一、知識(shí)要點(diǎn)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有許多有關(guān)長(zhǎng)方體、正方體的問(wèn)題。這籃蘋(píng)果一共有多少個(gè)？，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果減少一只船，正好每只船上價(jià)8人。知道了有5條船，就可以求全班人數(shù)：9（5－1）=36人。這個(gè)班有多少個(gè)同學(xué)？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知：每船坐9人，就能減少一條船，也就是少9個(gè)同學(xué)；每船坐6人，就要增加一條船，也就是多出6個(gè)同學(xué)。如果只分給小班，每人可得12塊；如果只分給中班和小班，每人只能分到4塊。如果把這些紅花讓甲組同學(xué)單獨(dú)做，每人要多做4朵。如果只借給甲組的女同學(xué)，每人可借6本。因此，這箱餅干分給小班的小朋友，每位小朋友可多分到6=9塊，一共可分到6＋9=15塊餅干。說(shuō)明中班的人數(shù)是小班人數(shù)的6247。要筑的路有多長(zhǎng)？【例題4】 幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分得4塊。原來(lái)有多少個(gè)小朋友？有多少塊糖？，正好按期筑完。練習(xí)3：，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊，就有兩人沒(méi)有磚可搬。由于兩班人數(shù)相等，小班每人多分3個(gè)就要多分（25＋2）個(gè)蘋(píng)果，用（25＋2）247。已知大班比小班多3人，這筐蘋(píng)果有多少個(gè)？【思路導(dǎo)航】如果大班減少3人，則大班和小班的人數(shù)同樣多。這個(gè)班一共有多少個(gè)同學(xué)？【例題3】 幼兒園老師將一筐蘋(píng)果分給小朋友。每人5支則多4支，每人7支則少4支。練習(xí)2：，如果每人分4個(gè)，則多9個(gè)；如果每人分5個(gè)，則少6個(gè)。因?yàn)樾∨笥讶藬?shù)大于4，所以，一定是每人少拿1個(gè)，有8247。如果平均分給小朋友，則少4個(gè)；如果每個(gè)小朋友只發(fā)給4個(gè)，則老師自己也能留下4個(gè)。兩堆貨物一共有多少?lài)?？?）班的優(yōu)秀學(xué)生中，苦增加2名男生，減少1名女生，則男、女生人數(shù)同樣多；苦減少1名男生，增加1名女生，則男生是女生的一半。練習(xí)1：，如果白粉筆減少10盒，彩色粉筆增加8盒，兩種粉筆就同樣多；如果再買(mǎi)10盒白粉筆，白粉筆的盒數(shù)就是彩色粉筆的5倍。乒乓球隊(duì)共有多少名學(xué)生？【思路導(dǎo)航】（1）由“少一個(gè)女生，增加一個(gè)男生，則男生為總?cè)藬?shù)的一半”可知：女生比男生多2人；（2）“少一個(gè)男生，增加一個(gè)女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，這時(shí)男生為女生人數(shù)的一半，即現(xiàn)在女生有42=8人。兩次分得的差=參與分配對(duì)象總數(shù)。兩次分得的差=參與分配對(duì)象總數(shù)；2.“兩盈”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：兩次盈數(shù)的差247。一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題都是由標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題演變過(guò)來(lái)的。盈虧問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：（盈＋虧）247。例如：把一代餅干分給小班的小朋友，每人分3塊，多12塊；如果每人分4塊，少8塊。6當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？……1[1000個(gè)1]247。練習(xí)5：……4[100個(gè)4]247。100247。7，當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】從豎式中可以看出，被除數(shù)除以7，每次除得的余數(shù)以0不斷重復(fù)出現(xiàn)。練習(xí)4：、……按下圖依次排列，2014出現(xiàn)在哪一列？，865排在哪一列？A B C D E8 6 4 210 12 14 1624 22 20 1826 28 30 32… … … …… … … …A B C D1 2 36 5 47 8 912 11 10… … … … … …3. 上表中，將每列上下兩個(gè)字組成一組，如第一組為（小熱），第二組為（學(xué)愛(ài)）。2001是這一列數(shù)中的第1001個(gè)數(shù)，1001247。7=13……，即星期二。7=。10月1日是星期一，是第一個(gè)周期的第一天，再過(guò)7天即10月8日也是星期一。這些同學(xué)以一端開(kāi)始，按先兩個(gè)女生，再一個(gè)男生的規(guī)律站立著。9=5（組）……2（盞），所以紅燈共有25＋2=12（盞），占總數(shù)的12/47；藍(lán)燈共有45=20（盞），占總數(shù)的20/47；黃燈共有35=15（盞），占總數(shù)的15/47。最后一盞燈是什么顏色的？三種顏色的燈各占總數(shù)的幾分之幾？【思路導(dǎo)航】（1）我們把二盞紅燈、四盞藍(lán)燈、三盞黃燈這9盞燈看作一組，47247。15=133……6，也就是經(jīng)過(guò)133個(gè)周期還余6個(gè)，每個(gè)周期中第6個(gè)是黃的，所以第2001個(gè)球涂黃色。二、精講精練【例題1】 流水線(xiàn)上生產(chǎn)小木球涂色的次序是：先5個(gè)紅，再4個(gè)黃，再3個(gè)綠，再2個(gè)黑，再1個(gè)白，然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白……如此涂下去，到2001個(gè)小球該涂什么顏色？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知，小木球涂色的次序是5紅、4黃、3綠、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15個(gè)球?yàn)橐粋€(gè)周期，不斷循環(huán)。在數(shù)學(xué)上，不僅有專(zhuān)門(mén)研究周期現(xiàn)象的分支，而且平時(shí)解題時(shí)也常常碰到與周期現(xiàn)象有關(guān)的問(wèn)題。這五個(gè)數(shù)之和最大是多少？——9九個(gè)數(shù)分別填入下圖○內(nèi)，使外三角形邊上○內(nèi)數(shù)之和等于里面三角形邊上○內(nèi)數(shù)之和。練習(xí)5：，使每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上三個(gè)數(shù)的積都相等。因此這6個(gè)質(zhì)數(shù)的積是223355=900。因?yàn)橹虚g的小三角形頂點(diǎn)處的數(shù)在求和時(shí)都用了三次，所以，四個(gè)小三角形頂點(diǎn)處數(shù)的總和是4X=20＋2X，解方程得X=10。如果在這些圓圈中分別填上六個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個(gè)小三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等?！?這八個(gè)數(shù)分別填入下圖○內(nèi)，使外圓四個(gè)數(shù)的和，內(nèi)圓四個(gè)數(shù)的和以及橫行、豎行上四個(gè)數(shù)的和都等于18。練習(xí)4：——9填入下圖的○中，使橫、豎行五個(gè)數(shù)相加的和都等于25。當(dāng)a=1時(shí)，（28＋21）247。由于28247。【例題4】 將1——7分別填入下圖的7個(gè)○內(nèi)，使每條線(xiàn)段上三個(gè)○內(nèi)數(shù)的和相等?！?九個(gè)數(shù)分別填入下圖